Статья: КОАЛИЦИОННОЕ ПАРЕТО-ОПТИМАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ИГРЫ (2024)

Исследуется специальный класс аппроксимаций измеримых функций многих переменных на единичном координатном кубе. Основу построения этого класса составляет теорема Колмогорова (в версии Шпрехера-Голубкова) о представлении произвольной непрерывной функции f многих переменных в виде конечной суперпозиции непрерывных функций одного переменного: так называемых внешних (зависящих от f) и одной внутренней Ψ (не зависящей от f и монотонной). Изучаемый класс в случае непрерывных функций f получается посредством аппроксимации внешних функций линейными комбинациями квадратичных экспонент (функций Гаусса), а внутренней функции Ψ - линейными комбинациями функций Лапласа. Измеримая функция f, как известно, аппроксимируется непрерывной в соответствии с классической теоремой Лузина (с точностью до множества малой меры). Эффективность такого подхода основана на утверждениях о возможности сколь угодно точной аппроксимации на любом фиксированном конечном отрезке материнского вейвлета «мексиканская шляпа» линейной комбинацией двух функций Гаусса, а также о возможности сколь угодно точной равномерной аппроксимации непрерывных монотонных функций монотонной линейной комбинацией сдвигов и сжатий интеграла Лапласа (функций Лапласа). Доказывается всюду плотность изучаемого класса аппроксимаций в классе непрерывных функций многих переменных на координатном кубе. Приводятся результаты численных экспериментов, подтверждающие эффективность аппроксимаций изучаемого класса на примере непрерывных и кусочно непрерывных функций двух переменных.

Для линейных автономных систем нейтрального типа предложен подход к задачам проектирования управления в виде обратной связи на базе нового класса гибридных регуляторов. В структуру гибридных регуляторов в обязательном порядке включается разностное уравнение, поэтому замкнутая система становится дифференциально-алгебраической. Отличительной чертой гибридных регуляторов является существование элементарных преобразований уравнений замкнутой системы, позволяющих получить независимую подсистему нейтрального типа. При этом указанная подсистема нейтрального типа однозначно определяет поведение решения x(t) исходной разомкнутой системы (возможно, как векторной компоненты вектора-решения замкнутой системы). К основным достоинствам использования гибридных регуляторов следует отнести возможность их применения к системам, не удовлетворяющим «традиционным» свойствам управляемости. Изучены свойства гибридных регуляторов. Приведен пример применения этих регуляторов для решения новой задачи управления коэффициентами характеристического квазиполинома в случае, когда известные в литературе подходы не применимы. Продемонстрирована возможность использования гибридных регуляторов для решения задачи 0-управляемости при помощи метода финитного управления.

В данной работе показано, что модифицированное уравнение Кортевега-де Фриза (мКдФ) отрицательного порядка с интегральным источником может быть проинтегрировано методом обратной спектральной задачи. Основной результат работы состоит в выводе эволюции спектральных данных системы Дирака с периодическим потенциалом, связанным с решением модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза отрицательного порядка с интегральным источником. Полученные результаты позволяют применить метод обратной задачи для решения модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза отрицательного порядка с интегральным источником.

С помощью так называемой β-функции получены некоторые результаты о неподвижной точке для нерасширяющих многозначных отображений. В данной работе результаты рассматриваются в контексте полных метрических пространств, которые не являются ни равномерно выпуклыми, ни компактными. Полученные результаты расширяют, объединяют и улучшают несколько недавних результатов в существующей литературе. В заключение мы применяем наши новые результаты, чтобы обеспечить существование решения для нелинейного интегрального включения. Кроме того, мы аппроксимируем неподвижную точку более быстрым итерационным процессом.

В конечномерном евклидовом пространстве рассматривается задача преследования группой преследователей двух убегающих, описываемая линейной нестационарной системой дифференциальных уравнений в предположении, что фундаментальная матрица однородной системы является рекуррентной функцией. Предполагается, что убегающие используют одно и то же управление. Преследователи используют контрстратегии на основе информации о начальных позициях и предыстории управления убегающих. Множество допустимых управлений - строго выпуклый компакт с гладкой границей, целевые множества - начало координат. Целью группы преследователей является поимка хотя бы одного убегающего двумя преследователями. В терминах начальных позиций и параметров игры получено достаточное условие поимки. При исследовании в качестве базового используется метод разрешающих функций, позволяющий получить достаточные условия разрешимости задачи сближения за некоторое гарантированное время.

Рассмотрен класс задач быстродействия в трехмерном пространстве с шаровой вектограммой скоростей. В качестве целевого множества выступает параметрически заданная гладкая кривая. Предложены численно-аналитические подходы к построению биссектрисы целевого множества - рассеивающей поверхности в задаче быстродействия. Основу алгоритмов составляют формулы точек края рассеивающей поверхности, выписанные в терминах инвариантов кривой. Показано, что эти точки образуют кромку биссектрисы и лежат в центрах соприкасающихся сфер к кривой. Доказана теорема о достаточных условиях гладкости рассеивающей поверхности. Найдены уравнения касательной плоскости к биссектрисе для тех ее точек, из которых выходит ровно две оптимальные траектории. Приведен пример решения задачи быстродействия в виде совокупности поверхностей уровня функции оптимального результата с выделением поверхности их негладкости.

Доказан один из вариантов теоремы сравнения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, следствием которой является свойство монотонности решений относительно начальных данных. Рассматривается задача оценки средней временной выгоды от добычи ресурса для структурированной популяции, состоящей из отдельных видов x1,…, xn, либо разделенной на n возрастных групп.