Рассматриваются управляемые начально-краевые задачи для полулинейных уравнений в частных производных с производной по времени первого и второго порядка, представимые в виде задачи Коши для полулинейного эволюционного уравнения в гильбертовом пространстве с неограниченным кососопряженным оператором и входящей линейно управляющей функцией. На основе результатов, полученных автором ранее для указанной задачи Коши, устанавливаются достаточные условия точной управляемости рассматриваемых уравнений в заданное конечное состояние (а также в заданные промежуточные состояния в промежуточные моменты времени) на произвольно фиксированном (без дополнительных условий) интервале времени. Кроме того, для абстрактного эволюционного уравнения доказывается теорема об устойчивости процесса управления.
Исследуется задача последовательного обхода мегаполисов (непустых конечных множеств) в условиях декомпозиции: на множестве заданий указана система кластеров, очередность обслуживания которых задана. Каждый кластер определяет частичную задачу маршрутизации с условиями предшествования и функциями стоимости, допускающими зависимость от списка заданий. Постановка ориентирована на инженерные приложения, связанные с листовой резкой на машинах с ЧПУ; имеется в виду задача резки зонами, которые определяются технологическими требованиями. Построена процедура оптимизации композиционных решений, базирующаяся на раздельном применении широко понимаемого динамического программирования и специального правила, связывающего условия частичных задач посредством назначения терминальных компонентов аддитивных критериев, исходя из функций экстремума этих частичных задач. Построенный алгоритм реализован на многоядерной ПЭВМ; вычислительный эксперимент при решении задач ощутимой размерности (сотни мегаполисов) показал возможность решения за приемлемое для инженерной практики время.
В данной работе представлены новые результаты о существовании и устойчивости включений неподвижных точек, связанных с многозначными операторами, удовлетворяющими сжимающему оператору типа Фэна-Лю на множестве, снабжённом двумя b-метриками. Полученные результаты расширяют и улучшают ряд недавних работ в этой области. Приводятся также примеры, подтверждающие полученные результаты.
Исследуется поведение дефокусирующего полулинейного интегро-дифференциального уравнения гиперболического типа с нулевыми начальными условиями. С введением нового переменного и новых функций задача приводится к удобному для исследования виду. С помощью интегрирования по характеристикам получаются необходимые условия на данные задачи. Далее, с помощью формулы Даламбера задача сводится к решению интегрального уравнения вольтерровского типа. Существование и единственность решения поставленной задачи доказывается методом сжимающих отображений.
В конечномерном евклидовом пространстве рассматривается нестационарная задача простого преследования группой преследователей двух убегающих с равными возможностями всех участников при условии, что убегающие используют одно и то же управление. Множество допустимых управлений каждого из игроков - шар радиуса единица с центром в начале координат. Целевые множества - начало координат. Целью группы преследователей является поимка хотя бы одного убегающего заданным числом преследователей. Цель убегающих - противоположна. Получены достаточные условия поимки и достаточные условия уклонения от встречи.
На протяжении всей этой статьи R обозначает ассоциативное кольцо с тождеством, которое не обязательно является коммутативным.
Мы рассматриваем класс линейных систем управления с дробной производной и последействием, порождаемым оператором с памятью. Задача управления формулируется как задача достижения заданных значений для конечной системы линейных целевых функционалов по траекториям, допустимым с учетом заданных линейных ограничений на управляющие воздействия. Для этой задачи предлагается и реализуется подход к построению внутренних (нижних по включению) оценок множества всех достижимых целевых значений. Подход базируется на результатах теории абстрактного функционально-дифференциального уравнения и представлении общего решения рассматриваемой системы с использованием матрицы Коши. Для случая полиэдральных ограничений на управление получена внутренняя оценка множества достижимости в форме многогранника в пространстве целевых значений. Предлагается алгоритм построения угловых точек такого многогранника, а также алгоритм построения управлений, доставляющих целевые значения из построенного множества.
В статье исследуется система двух параболических уравнений типа реакция-диффузия, являющаяся многомерным обобщением модели Мюррея, описывающей взаимодействие двух конкурирующих сообществ. Сформулированы и доказаны новые теоремы существования и единственности решений с нулевым фронтом в трехмерном случае и для произвольной размерности пространства. Доказательства конструктивны, решения строятся в виде степенных рядов. Описан новый класс точных решений, построение которых сводится к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ). Для решения СОДУ в частном случае предложен итерационный численный алгоритм на основе метода коллокаций. В рассмотренных примерах проведена численная оценка областей сходимости решений в виде рядов, исследованы свойства точных решений и отрезков рядов.
Эта статья продолжает исследования, проведенные в работах [1] и [2].
Алгоритм Евклида с выбором минимального по модулю остатка - один из самых быстрых способов вычисления наибольшего общего делителя натуральных чисел. В настоящей работе уточняется оценка количества шагов этого алгоритма в худшем случае. Для ее доказательства используются свойства чисел Пелля, которые возникают при анализе наихудших входных данных алгоритма. Автор адаптировал метод Кана доказательства аналогичной оценки классического алгоритма Евклида. Также доказывается оценка сложности алгоритма в худшем случае. Помимо этого, вводится расширенная версия алгоритма, позволяющая находить коэффициенты Безу в одноименном уравнении, решать линейные сравнения и искать обратные элементы.
В настоящей работе исследуется двумерная сингулярно возмущенная краевая задача типа Стеклова для оператора Ламэ в полуполосе с малым отверстием. На боковых границах полуполосы и на границе малого отверстия заданы однородные граничные условия Дирихле, а на основании полуполосы - спектральное условие Стеклова. Для этой краевой задачи построено и обосновано асимптотическое разложение простых собственных значений с точностью до степени малого параметра, характеризующего размер отверстия. Доказано, что возникающий при этом ряд по отрицательным степеням натурального логарифма от малого параметра представляет собой голоморфную в нуле функцию от аргумента, равного первой отрицательной степени натурального логарифма малого параметра, значение которой в нуле есть в точности собственное значение предельной краевой задачи (без малого отверстия), а значение производной этой функции в нуле определяет первый возмущенный член. В частности, получена явная формула для первого возмущенного члена и установлено, что первый возмущенный член является отрицательным по значению и полностью определяется положением малого отверстия, а также постоянными Ламэ.
Рассматривается один класс линейных автономных дифференциальных уравнений нейтрального типа. Исследование устойчивости рассматриваемого уравнения сводится к изучению асимптотических свойств фундаментального решения и функции Коши этого уравнения. В работе изучается положительность фундаментального решения и функции Коши данного уравнения, а также устанавливаются двусторонние экспоненциальные оценки на указанные функции. Для этого лемма о дифференциальном неравенстве обобщается на изучаемое линейное автономное дифференциальное уравнение нейтрального типа. Установлено, что если рассматриваемое уравнение экспоненциально устойчиво, а его характеристическая функция имеет хотя бы один вещественный корень, то фундаментальное решение и функция Коши положительны на положительной полуоси. На основе положительности фундаментального решения и функции Коши строятся их двусторонние экспоненциальные оценки. В получаемых оценках показатели экспоненты и коэффициенты на фундаментальное решение и функцию Коши являются точными.