Статья: О РАСШИРЕННОМ АЛГОРИТМЕ ЕВКЛИДА С ВЫБОРОМ МИНИМАЛЬНОГО ПО МОДУЛЮ ОСТАТКА (2026)

Для произвольной дифференциальной системы первого порядка с нулевым решением рассматриваются ее различные осцилляционные свойства: блуждаемость, колеблемость, вращаемость и неблуждаемость, неколеблемость, невращаемость. Изучаются меры этих свойств: их стандартные шаровые и сильные варианты, а также их радиальные (лучевые, узкие и широкие) и слабые разновидности. Для этих мер подробно разъяснен их смысл, доказаны различные соотношения между ними, описаны некоторые их логические взаимосвязи как друг с другом, так и с порождающими их свойствами, а также приведены примеры, демонстрирующие отсутствие конкретных других связей между ними.

Мы рассматриваем класс линейных систем управления с дробной производной и последействием, порождаемым оператором с памятью. Задача управления формулируется как задача достижения заданных значений для конечной системы линейных целевых функционалов по траекториям, допустимым с учетом заданных линейных ограничений на управляющие воздействия. Для этой задачи предлагается и реализуется подход к построению внутренних (нижних по включению) оценок множества всех достижимых целевых значений. Подход базируется на результатах теории абстрактного функционально-дифференциального уравнения и представлении общего решения рассматриваемой системы с использованием матрицы Коши. Для случая полиэдральных ограничений на управление получена внутренняя оценка множества достижимости в форме многогранника в пространстве целевых значений. Предлагается алгоритм построения угловых точек такого многогранника, а также алгоритм построения управлений, доставляющих целевые значения из построенного множества.

Работа посвящена развитию емкостной техники в изучении свойств решений уравнений в частных производных на некомпактных римановых многообразиях. Одна из основных проблем классификационной теории некомпактных римановых многообразий об определении параболичности (гиперболичности) типа была однозначно решена в терминах нетривиальности емкостного потенциала внешности произвольного компактного множества. В дальнейших исследованиях появились и другие емкостные характеристики некомпактных римановых многообразий, в том числе порожденные оператором Шрёдингера и другими эллиптическими операторами. Прежде всего отметим функцию Лиувилля, порожденную оператором Шрёдингера. Отметим, что именно специфические свойства функций Лиувилля многообразий позволили сформулировать и доказать утверждение о размерности пространств ограниченных решений стационарного уравнения Шрёдингера в терминах массивных множеств. Кроме того известно, что тривиальность функции Лиувилля, порожденной линейным или полулинейным эллиптическим оператором, эквивалентна тривиальности множества ограниченных решений соответствующего уравнения. Также в геометрическом анализе применяются такие характеристики, как емкостные потенциалы и гармонические меры. В данной статье исследуется асимптотическое поведение емкостных характеристик модельных римановых многообразий, обобщающих сферически-симметричные. Геометрическое строение таких многообразий позволяет получать точные утверждения и даже строить достаточно полную теорию рассматриваемых эллиптических операторов и их обобщений. Получены точные оценки скорости стремления к предельному значению на «бесконечности» функции Лиувилля внешности компакта, гармонической меры, емкостного потенциала и функции Лиувилля многообразия, ассоциированных со стационарным уравнением Шрёдингера.

В статье исследуется система двух параболических уравнений типа реакция-диффузия, являющаяся многомерным обобщением модели Мюррея, описывающей взаимодействие двух конкурирующих сообществ. Сформулированы и доказаны новые теоремы существования и единственности решений с нулевым фронтом в трехмерном случае и для произвольной размерности пространства. Доказательства конструктивны, решения строятся в виде степенных рядов. Описан новый класс точных решений, построение которых сводится к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ). Для решения СОДУ в частном случае предложен итерационный численный алгоритм на основе метода коллокаций. В рассмотренных примерах проведена численная оценка областей сходимости решений в виде рядов, исследованы свойства точных решений и отрезков рядов.

В настоящей работе исследуется двумерная сингулярно возмущенная краевая задача типа Стеклова для оператора Ламэ в полуполосе с малым отверстием. На боковых границах полуполосы и на границе малого отверстия заданы однородные граничные условия Дирихле, а на основании полуполосы - спектральное условие Стеклова. Для этой краевой задачи построено и обосновано асимптотическое разложение простых собственных значений с точностью до степени малого параметра, характеризующего размер отверстия. Доказано, что возникающий при этом ряд по отрицательным степеням натурального логарифма от малого параметра представляет собой голоморфную в нуле функцию от аргумента, равного первой отрицательной степени натурального логарифма малого параметра, значение которой в нуле есть в точности собственное значение предельной краевой задачи (без малого отверстия), а значение производной этой функции в нуле определяет первый возмущенный член. В частности, получена явная формула для первого возмущенного члена и установлено, что первый возмущенный член является отрицательным по значению и полностью определяется положением малого отверстия, а также постоянными Ламэ.

Рассматривается один класс линейных автономных дифференциальных уравнений нейтрального типа. Исследование устойчивости рассматриваемого уравнения сводится к изучению асимптотических свойств фундаментального решения и функции Коши этого уравнения. В работе изучается положительность фундаментального решения и функции Коши данного уравнения, а также устанавливаются двусторонние экспоненциальные оценки на указанные функции. Для этого лемма о дифференциальном неравенстве обобщается на изучаемое линейное автономное дифференциальное уравнение нейтрального типа. Установлено, что если рассматриваемое уравнение экспоненциально устойчиво, а его характеристическая функция имеет хотя бы один вещественный корень, то фундаментальное решение и функция Коши положительны на положительной полуоси. На основе положительности фундаментального решения и функции Коши строятся их двусторонние экспоненциальные оценки. В получаемых оценках показатели экспоненты и коэффициенты на фундаментальное решение и функцию Коши являются точными.