Рассматриваются управляемые начально-краевые задачи для полулинейных уравнений в частных производных с производной по времени первого и второго порядка, представимые в виде задачи Коши для полулинейного эволюционного уравнения в гильбертовом пространстве с неограниченным кососопряженным оператором и входящей линейно управляющей функцией. На основе результатов, полученных автором ранее для указанной задачи Коши, устанавливаются достаточные условия точной управляемости рассматриваемых уравнений в заданное конечное состояние (а также в заданные промежуточные состояния в промежуточные моменты времени) на произвольно фиксированном (без дополнительных условий) интервале времени. Кроме того, для абстрактного эволюционного уравнения доказывается теорема об устойчивости процесса управления.
Исследуется задача последовательного обхода мегаполисов (непустых конечных множеств) в условиях декомпозиции: на множестве заданий указана система кластеров, очередность обслуживания которых задана. Каждый кластер определяет частичную задачу маршрутизации с условиями предшествования и функциями стоимости, допускающими зависимость от списка заданий. Постановка ориентирована на инженерные приложения, связанные с листовой резкой на машинах с ЧПУ; имеется в виду задача резки зонами, которые определяются технологическими требованиями. Построена процедура оптимизации композиционных решений, базирующаяся на раздельном применении широко понимаемого динамического программирования и специального правила, связывающего условия частичных задач посредством назначения терминальных компонентов аддитивных критериев, исходя из функций экстремума этих частичных задач. Построенный алгоритм реализован на многоядерной ПЭВМ; вычислительный эксперимент при решении задач ощутимой размерности (сотни мегаполисов) показал возможность решения за приемлемое для инженерной практики время.
В данной работе представлены новые результаты о существовании и устойчивости включений неподвижных точек, связанных с многозначными операторами, удовлетворяющими сжимающему оператору типа Фэна-Лю на множестве, снабжённом двумя b-метриками. Полученные результаты расширяют и улучшают ряд недавних работ в этой области. Приводятся также примеры, подтверждающие полученные результаты.
Исследуется поведение дефокусирующего полулинейного интегро-дифференциального уравнения гиперболического типа с нулевыми начальными условиями. С введением нового переменного и новых функций задача приводится к удобному для исследования виду. С помощью интегрирования по характеристикам получаются необходимые условия на данные задачи. Далее, с помощью формулы Даламбера задача сводится к решению интегрального уравнения вольтерровского типа. Существование и единственность решения поставленной задачи доказывается методом сжимающих отображений.
Работа развивает идеи [1], где определено банахово (относительно специальной нормы) пространство, состоящее из непрерывных ограниченных функций многих переменных, содержащее в себе пространство функций типа Липшица–Гёльдера (см. [2]).
В конечномерном евклидовом пространстве рассматривается нестационарная задача простого преследования группой преследователей двух убегающих с равными возможностями всех участников при условии, что убегающие используют одно и то же управление. Множество допустимых управлений каждого из игроков - шар радиуса единица с центром в начале координат. Целевые множества - начало координат. Целью группы преследователей является поимка хотя бы одного убегающего заданным числом преследователей. Цель убегающих - противоположна. Получены достаточные условия поимки и достаточные условия уклонения от встречи.
На протяжении всей этой статьи R обозначает ассоциативное кольцо с тождеством, которое не обязательно является коммутативным.
Статья посвящена проблематике численного вычисления меры невыпуклости множеств достижимости управляемых систем, представленных в пиксельном виде. Рассматриваемая в работе мера невыпуклости в терминах α-множеств является неустойчивой в хаусдорфовой метрике, поэтому введена модифицированная мера невыпуклости, совпадающая с исходной для слабо выпуклых по Виалю множеств и для многогранников с конечным числом вершин. Доказано, что введённая модифицированная мера невыпуклости совпадает с исходной мерой невыпуклости α, вычисленной для окрестности рассматриваемого множества. Минимальная толщина этой окрестности фактически является параметром этой модифицированной меры. Показано, что π-множества являются неустойчивыми относительно модифицированной меры невыпуклости. Однако, доказано, что выпуклые множества (0-множества) имеют устойчивую модифицированную меру невыпуклости относительно малых возмущений в хаусдорфовой метрике. Введено понятие псевдочебышевского слоя.
Работа посвящена сравнению двух подходов к численной реализации цены опционов, определяемой в модели Блэка-Шоулза. На примере европейского опциона покупки в статье проведены расчеты цены с помощью метода Монте-Карло и с помощью метода конечных разностей. Применение метода Монте-Карло основано на представлении цены опциона в качестве вероятностной характеристики базового актива и численном решении стохастического дифференциального уравнения (СДУ), описывающего изменение цены данного базового актива. В нашей работе численное решение СДУ строится методом Эйлера-Маруямы, а затем цена опциона находится методом Монте-Карло. Использование метода конечных разностей основано на связи между стохастическими дифференциальными уравнениями и детерминированными уравнениями для вероятностных характеристик решений СДУ. В силу этой связи цена опциона удовлетворяет уравнению в частных производных. Применение двух указанных подходов продемонстрировано на примере конкретного уравнения для цены базового актива. Проведенные численные эксперименты позволили сравнить и оценить достоинства и недостатки каждого из подходов.
Для произвольной дифференциальной системы первого порядка с нулевым решением рассматриваются ее различные осцилляционные свойства: блуждаемость, колеблемость, вращаемость и неблуждаемость, неколеблемость, невращаемость. Изучаются меры этих свойств: их стандартные шаровые и сильные варианты, а также их радиальные (лучевые, узкие и широкие) и слабые разновидности. Для этих мер подробно разъяснен их смысл, доказаны различные соотношения между ними, описаны некоторые их логические взаимосвязи как друг с другом, так и с порождающими их свойствами, а также приведены примеры, демонстрирующие отсутствие конкретных других связей между ними.
Мы рассматриваем класс линейных систем управления с дробной производной и последействием, порождаемым оператором с памятью. Задача управления формулируется как задача достижения заданных значений для конечной системы линейных целевых функционалов по траекториям, допустимым с учетом заданных линейных ограничений на управляющие воздействия. Для этой задачи предлагается и реализуется подход к построению внутренних (нижних по включению) оценок множества всех достижимых целевых значений. Подход базируется на результатах теории абстрактного функционально-дифференциального уравнения и представлении общего решения рассматриваемой системы с использованием матрицы Коши. Для случая полиэдральных ограничений на управление получена внутренняя оценка множества достижимости в форме многогранника в пространстве целевых значений. Предлагается алгоритм построения угловых точек такого многогранника, а также алгоритм построения управлений, доставляющих целевые значения из построенного множества.
Работа посвящена развитию емкостной техники в изучении свойств решений уравнений в частных производных на некомпактных римановых многообразиях. Одна из основных проблем классификационной теории некомпактных римановых многообразий об определении параболичности (гиперболичности) типа была однозначно решена в терминах нетривиальности емкостного потенциала внешности произвольного компактного множества. В дальнейших исследованиях появились и другие емкостные характеристики некомпактных римановых многообразий, в том числе порожденные оператором Шрёдингера и другими эллиптическими операторами. Прежде всего отметим функцию Лиувилля, порожденную оператором Шрёдингера. Отметим, что именно специфические свойства функций Лиувилля многообразий позволили сформулировать и доказать утверждение о размерности пространств ограниченных решений стационарного уравнения Шрёдингера в терминах массивных множеств. Кроме того известно, что тривиальность функции Лиувилля, порожденной линейным или полулинейным эллиптическим оператором, эквивалентна тривиальности множества ограниченных решений соответствующего уравнения. Также в геометрическом анализе применяются такие характеристики, как емкостные потенциалы и гармонические меры. В данной статье исследуется асимптотическое поведение емкостных характеристик модельных римановых многообразий, обобщающих сферически-симметричные. Геометрическое строение таких многообразий позволяет получать точные утверждения и даже строить достаточно полную теорию рассматриваемых эллиптических операторов и их обобщений. Получены точные оценки скорости стремления к предельному значению на «бесконечности» функции Лиувилля внешности компакта, гармонической меры, емкостного потенциала и функции Лиувилля многообразия, ассоциированных со стационарным уравнением Шрёдингера.