Статья: РЕШЕНИЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ СО СТЕПЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ (2026)

Рассматриваются управляемые начально-краевые задачи для полулинейных уравнений в частных производных с производной по времени первого и второго порядка, представимые в виде задачи Коши для полулинейного эволюционного уравнения в гильбертовом пространстве с неограниченным кососопряженным оператором и входящей линейно управляющей функцией. На основе результатов, полученных автором ранее для указанной задачи Коши, устанавливаются достаточные условия точной управляемости рассматриваемых уравнений в заданное конечное состояние (а также в заданные промежуточные состояния в промежуточные моменты времени) на произвольно фиксированном (без дополнительных условий) интервале времени. Кроме того, для абстрактного эволюционного уравнения доказывается теорема об устойчивости процесса управления.

Исследуется задача последовательного обхода мегаполисов (непустых конечных множеств) в условиях декомпозиции: на множестве заданий указана система кластеров, очередность обслуживания которых задана. Каждый кластер определяет частичную задачу маршрутизации с условиями предшествования и функциями стоимости, допускающими зависимость от списка заданий. Постановка ориентирована на инженерные приложения, связанные с листовой резкой на машинах с ЧПУ; имеется в виду задача резки зонами, которые определяются технологическими требованиями. Построена процедура оптимизации композиционных решений, базирующаяся на раздельном применении широко понимаемого динамического программирования и специального правила, связывающего условия частичных задач посредством назначения терминальных компонентов аддитивных критериев, исходя из функций экстремума этих частичных задач. Построенный алгоритм реализован на многоядерной ПЭВМ; вычислительный эксперимент при решении задач ощутимой размерности (сотни мегаполисов) показал возможность решения за приемлемое для инженерной практики время.

В данной работе представлены новые результаты о существовании и устойчивости включений неподвижных точек, связанных с многозначными операторами, удовлетворяющими сжимающему оператору типа Фэна-Лю на множестве, снабжённом двумя b-метриками. Полученные результаты расширяют и улучшают ряд недавних работ в этой области. Приводятся также примеры, подтверждающие полученные результаты.

Работа развивает идеи [1], где определено банахово (относительно специальной нормы) пространство, состоящее из непрерывных ограниченных функций многих переменных, содержащее в себе пространство функций типа Липшица–Гёльдера (см. [2]).

В конечномерном евклидовом пространстве рассматривается нестационарная задача простого преследования группой преследователей двух убегающих с равными возможностями всех участников при условии, что убегающие используют одно и то же управление. Множество допустимых управлений каждого из игроков - шар радиуса единица с центром в начале координат. Целевые множества - начало координат. Целью группы преследователей является поимка хотя бы одного убегающего заданным числом преследователей. Цель убегающих - противоположна. Получены достаточные условия поимки и достаточные условия уклонения от встречи.

На протяжении всей этой статьи R обозначает ассоциативное кольцо с тождеством, которое не обязательно является коммутативным.

Статья посвящена проблематике численного вычисления меры невыпуклости множеств достижимости управляемых систем, представленных в пиксельном виде. Рассматриваемая в работе мера невыпуклости в терминах α-множеств является неустойчивой в хаусдорфовой метрике, поэтому введена модифицированная мера невыпуклости, совпадающая с исходной для слабо выпуклых по Виалю множеств и для многогранников с конечным числом вершин. Доказано, что введённая модифицированная мера невыпуклости совпадает с исходной мерой невыпуклости α, вычисленной для окрестности рассматриваемого множества. Минимальная толщина этой окрестности фактически является параметром этой модифицированной меры. Показано, что π-множества являются неустойчивыми относительно модифицированной меры невыпуклости. Однако, доказано, что выпуклые множества (0-множества) имеют устойчивую модифицированную меру невыпуклости относительно малых возмущений в хаусдорфовой метрике. Введено понятие псевдочебышевского слоя.

Работа посвящена сравнению двух подходов к численной реализации цены опционов, определяемой в модели Блэка-Шоулза. На примере европейского опциона покупки в статье проведены расчеты цены с помощью метода Монте-Карло и с помощью метода конечных разностей. Применение метода Монте-Карло основано на представлении цены опциона в качестве вероятностной характеристики базового актива и численном решении стохастического дифференциального уравнения (СДУ), описывающего изменение цены данного базового актива. В нашей работе численное решение СДУ строится методом Эйлера-Маруямы, а затем цена опциона находится методом Монте-Карло. Использование метода конечных разностей основано на связи между стохастическими дифференциальными уравнениями и детерминированными уравнениями для вероятностных характеристик решений СДУ. В силу этой связи цена опциона удовлетворяет уравнению в частных производных. Применение двух указанных подходов продемонстрировано на примере конкретного уравнения для цены базового актива. Проведенные численные эксперименты позволили сравнить и оценить достоинства и недостатки каждого из подходов.