Статья: О ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ДЛЯ СИСТЕМ С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ И ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ (2026)

Для произвольной дифференциальной системы первого порядка с нулевым решением рассматриваются ее различные осцилляционные свойства: блуждаемость, колеблемость, вращаемость и неблуждаемость, неколеблемость, невращаемость. Изучаются меры этих свойств: их стандартные шаровые и сильные варианты, а также их радиальные (лучевые, узкие и широкие) и слабые разновидности. Для этих мер подробно разъяснен их смысл, доказаны различные соотношения между ними, описаны некоторые их логические взаимосвязи как друг с другом, так и с порождающими их свойствами, а также приведены примеры, демонстрирующие отсутствие конкретных других связей между ними.

Работа посвящена развитию емкостной техники в изучении свойств решений уравнений в частных производных на некомпактных римановых многообразиях. Одна из основных проблем классификационной теории некомпактных римановых многообразий об определении параболичности (гиперболичности) типа была однозначно решена в терминах нетривиальности емкостного потенциала внешности произвольного компактного множества. В дальнейших исследованиях появились и другие емкостные характеристики некомпактных римановых многообразий, в том числе порожденные оператором Шрёдингера и другими эллиптическими операторами. Прежде всего отметим функцию Лиувилля, порожденную оператором Шрёдингера. Отметим, что именно специфические свойства функций Лиувилля многообразий позволили сформулировать и доказать утверждение о размерности пространств ограниченных решений стационарного уравнения Шрёдингера в терминах массивных множеств. Кроме того известно, что тривиальность функции Лиувилля, порожденной линейным или полулинейным эллиптическим оператором, эквивалентна тривиальности множества ограниченных решений соответствующего уравнения. Также в геометрическом анализе применяются такие характеристики, как емкостные потенциалы и гармонические меры. В данной статье исследуется асимптотическое поведение емкостных характеристик модельных римановых многообразий, обобщающих сферически-симметричные. Геометрическое строение таких многообразий позволяет получать точные утверждения и даже строить достаточно полную теорию рассматриваемых эллиптических операторов и их обобщений. Получены точные оценки скорости стремления к предельному значению на «бесконечности» функции Лиувилля внешности компакта, гармонической меры, емкостного потенциала и функции Лиувилля многообразия, ассоциированных со стационарным уравнением Шрёдингера.

В статье исследуется система двух параболических уравнений типа реакция-диффузия, являющаяся многомерным обобщением модели Мюррея, описывающей взаимодействие двух конкурирующих сообществ. Сформулированы и доказаны новые теоремы существования и единственности решений с нулевым фронтом в трехмерном случае и для произвольной размерности пространства. Доказательства конструктивны, решения строятся в виде степенных рядов. Описан новый класс точных решений, построение которых сводится к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ). Для решения СОДУ в частном случае предложен итерационный численный алгоритм на основе метода коллокаций. В рассмотренных примерах проведена численная оценка областей сходимости решений в виде рядов, исследованы свойства точных решений и отрезков рядов.

Алгоритм Евклида с выбором минимального по модулю остатка - один из самых быстрых способов вычисления наибольшего общего делителя натуральных чисел. В настоящей работе уточняется оценка количества шагов этого алгоритма в худшем случае. Для ее доказательства используются свойства чисел Пелля, которые возникают при анализе наихудших входных данных алгоритма. Автор адаптировал метод Кана доказательства аналогичной оценки классического алгоритма Евклида. Также доказывается оценка сложности алгоритма в худшем случае. Помимо этого, вводится расширенная версия алгоритма, позволяющая находить коэффициенты Безу в одноименном уравнении, решать линейные сравнения и искать обратные элементы.

В настоящей работе исследуется двумерная сингулярно возмущенная краевая задача типа Стеклова для оператора Ламэ в полуполосе с малым отверстием. На боковых границах полуполосы и на границе малого отверстия заданы однородные граничные условия Дирихле, а на основании полуполосы - спектральное условие Стеклова. Для этой краевой задачи построено и обосновано асимптотическое разложение простых собственных значений с точностью до степени малого параметра, характеризующего размер отверстия. Доказано, что возникающий при этом ряд по отрицательным степеням натурального логарифма от малого параметра представляет собой голоморфную в нуле функцию от аргумента, равного первой отрицательной степени натурального логарифма малого параметра, значение которой в нуле есть в точности собственное значение предельной краевой задачи (без малого отверстия), а значение производной этой функции в нуле определяет первый возмущенный член. В частности, получена явная формула для первого возмущенного члена и установлено, что первый возмущенный член является отрицательным по значению и полностью определяется положением малого отверстия, а также постоянными Ламэ.

Рассматривается один класс линейных автономных дифференциальных уравнений нейтрального типа. Исследование устойчивости рассматриваемого уравнения сводится к изучению асимптотических свойств фундаментального решения и функции Коши этого уравнения. В работе изучается положительность фундаментального решения и функции Коши данного уравнения, а также устанавливаются двусторонние экспоненциальные оценки на указанные функции. Для этого лемма о дифференциальном неравенстве обобщается на изучаемое линейное автономное дифференциальное уравнение нейтрального типа. Установлено, что если рассматриваемое уравнение экспоненциально устойчиво, а его характеристическая функция имеет хотя бы один вещественный корень, то фундаментальное решение и функция Коши положительны на положительной полуоси. На основе положительности фундаментального решения и функции Коши строятся их двусторонние экспоненциальные оценки. В получаемых оценках показатели экспоненты и коэффициенты на фундаментальное решение и функцию Коши являются точными.