Статья: МНОЖЕСТВА ПРИТЯЖЕНИЯ В АБСТРАКТНОЙ ЗАДАЧЕ О ДОСТИЖИМОСТИ В ТОПОЛОГИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ (2025)

Рассматриваются осцилляционные свойства решений произвольной нелинейной дифференциальной системы (с нулевым решением). Для такой системы определяются нижний, верхний, наинижний и наиверхний показатели колеблемости, блуждаемости и вращаемости. Изучаются связи числовых значений этих показателей как с соответствующими полными и полнейшими осцилляционными свойствами этой системы, так и с противоположными им свойствами: неколеблемостью, неблуждаемостью и невращаемостью. Также изучаются логические связи всех перечисленных свойств друг с другом, причем отсутствие отдельных таких связей подтверждается конкретными контрпримерами. Кроме того, изучается аналогичная связь между наличием у системы какого-либо осцилляционного свойства и единичным или нулевым значением меры соответствующего свойства для самой системы (понятия таких мер вероятностного характера для дифференциальной системы совсем недавно введены в рассмотрение).

Рассматривается супердиффузионное уравнение с дробными производными Рисса по пространству и с несколькими переменными запаздываниями по времени. Приводятся конструкции дробного аналога компактной схемы с кусочно-кубической интерполяцией и экстраполяцией продолжением, который имеет второй порядок малости относительно шага дискретизации по времени Δ и четвертый относительно шага дискретизации по пространству h. Этот метод является базовым для последующих конструкций. Изучается порядок невязки без интерполяции метода. Выписываются коэффициенты разложения невязки относительно Δ.

В статье рассматривается задача об оптимальном размещении внутри сферического сегмента заданного числа равных геодезических кругов без пересечений, причем критерием оптимальности является максимизация их радиуса. Данная постановка известна как задача Таммеса и представляет собой один из вариантов классической проблемы о плотнейшей упаковке однотипных объектов в контейнер. Для решения рассмотренной задачи предложен оригинальный двухэтапный численный метод. На первом этапе строится начальное приближение с использованием известных оптимальных упаковок равных кругов в круг большего радиуса, центры которых проектируются специальным образом на сферический сегмент. Доказывается теорема о свойствах проекции, устанавливающая связь между радиусами элементов плоской и сферической упаковок. На втором этапе выполняется процедура улучшения с помощью бильярдного моделирования. Выполнены иллюстрирующие численные расчеты для сферических сегментов различного углового размера. Проведено сравнение их результатов с известными, которое показывает, что предлагаемый метод позволяет находить оптимальные или близкие к ним упаковки за значительно (на два-три порядка) меньшее время, чем при использовании традиционного метода мультистарта. Решена прикладная задача о проектировании сферической фокальной поверхности, которая возникает в инженерной оптике.

В этой статье мы обобщаем некоторые результаты о точке совпадения для отображений ψ, φ, действующих из метрического пространства в другое пространство - пространство с обобщенным расстоянием.

Рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной. Предполагается, что его правая часть непрерывна на множестве, состоящем из области двумерного евклидова пространства и некоторой части ее границы. Излагается теория, посвященная решению вопросов о существовании, продолжимости и единственности решений ГЗК - задачи Коши, поставленной в граничной точке. Эта теория позволит дополнить существующую теорию ОДУ первого порядка, в которой задача Коши ставится во внутренней точке (ВЗК). Основные результаты в части существования или отсутствия решений ГКЗ были получены в 2020 году, поэтому в данной работе они только систематизируются и дополняются. Новыми являются результаты связанные с продолжимостью, а также с единственностью или неединственностью решений ГЗК. Доказываются теоремы о формальной и локальной единственности решений задачи Коши. При этом постоянно прослеживаются различия между свойствами решений ГЗК и ВЗК. Например, демонстрируется неравносильность понятий формальной и локальной единственности для ГЗК в отличие от ВЗК, что приводит к появлению наряду с точками неединственности и единственности так называемых скрытых точек неединственности.