Статья: НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ О ТОЧКАХ СОВПАДЕНИЯ В b-МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ (2025)

Рассматриваются абстрактные задачи о достижимости с ограничениями асимптотического характера (ОАХ), в которых результат (аналог множества достижимости) определяется в виде множества притяжения (МП) в топологическом пространстве. Сами ОАХ порождаются при этом непустыми семействами подмножеств исходного множества обычных (доступных для реализации) решений. Среди этих семейств выделяются фильтры: семейство всех возможных МП получается добавлением пустого множества к аналогичному семейству МП, отвечающим каждое ОАХ, порождаемым фильтром; при этом ультрафильтрам всякий раз сопоставляется единственный элемент притяжения. Это позволяет установить ряд важных свойств семейства всех МП, порождаемых фильтрами. Так, в частности, установлено, что данное семейство замкнуто относительно конечных объединений, указаны условия, при которых конечное объединение фильтров порождает МП упомянутого семейства, указано семейство синглетонов, являющихся МП, порождаемыми фильтрами. Само же появление непустых неодноэлементных МП удается истолковать в терминах немаксимальности фильтра, порождающего ОАХ: непустые МП, не являющиеся синглетонами, непременно соответствуют ОАХ, порождаемыми фильтрами, не являющимися ультрафильтрами.

Рассматриваются осцилляционные свойства решений произвольной нелинейной дифференциальной системы (с нулевым решением). Для такой системы определяются нижний, верхний, наинижний и наиверхний показатели колеблемости, блуждаемости и вращаемости. Изучаются связи числовых значений этих показателей как с соответствующими полными и полнейшими осцилляционными свойствами этой системы, так и с противоположными им свойствами: неколеблемостью, неблуждаемостью и невращаемостью. Также изучаются логические связи всех перечисленных свойств друг с другом, причем отсутствие отдельных таких связей подтверждается конкретными контрпримерами. Кроме того, изучается аналогичная связь между наличием у системы какого-либо осцилляционного свойства и единичным или нулевым значением меры соответствующего свойства для самой системы (понятия таких мер вероятностного характера для дифференциальной системы совсем недавно введены в рассмотрение).

Рассматривается супердиффузионное уравнение с дробными производными Рисса по пространству и с несколькими переменными запаздываниями по времени. Приводятся конструкции дробного аналога компактной схемы с кусочно-кубической интерполяцией и экстраполяцией продолжением, который имеет второй порядок малости относительно шага дискретизации по времени Δ и четвертый относительно шага дискретизации по пространству h. Этот метод является базовым для последующих конструкций. Изучается порядок невязки без интерполяции метода. Выписываются коэффициенты разложения невязки относительно Δ.

В статье рассматривается задача об оптимальном размещении внутри сферического сегмента заданного числа равных геодезических кругов без пересечений, причем критерием оптимальности является максимизация их радиуса. Данная постановка известна как задача Таммеса и представляет собой один из вариантов классической проблемы о плотнейшей упаковке однотипных объектов в контейнер. Для решения рассмотренной задачи предложен оригинальный двухэтапный численный метод. На первом этапе строится начальное приближение с использованием известных оптимальных упаковок равных кругов в круг большего радиуса, центры которых проектируются специальным образом на сферический сегмент. Доказывается теорема о свойствах проекции, устанавливающая связь между радиусами элементов плоской и сферической упаковок. На втором этапе выполняется процедура улучшения с помощью бильярдного моделирования. Выполнены иллюстрирующие численные расчеты для сферических сегментов различного углового размера. Проведено сравнение их результатов с известными, которое показывает, что предлагаемый метод позволяет находить оптимальные или близкие к ним упаковки за значительно (на два-три порядка) меньшее время, чем при использовании традиционного метода мультистарта. Решена прикладная задача о проектировании сферической фокальной поверхности, которая возникает в инженерной оптике.

Рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной. Предполагается, что его правая часть непрерывна на множестве, состоящем из области двумерного евклидова пространства и некоторой части ее границы. Излагается теория, посвященная решению вопросов о существовании, продолжимости и единственности решений ГЗК - задачи Коши, поставленной в граничной точке. Эта теория позволит дополнить существующую теорию ОДУ первого порядка, в которой задача Коши ставится во внутренней точке (ВЗК). Основные результаты в части существования или отсутствия решений ГКЗ были получены в 2020 году, поэтому в данной работе они только систематизируются и дополняются. Новыми являются результаты связанные с продолжимостью, а также с единственностью или неединственностью решений ГЗК. Доказываются теоремы о формальной и локальной единственности решений задачи Коши. При этом постоянно прослеживаются различия между свойствами решений ГЗК и ВЗК. Например, демонстрируется неравносильность понятий формальной и локальной единственности для ГЗК в отличие от ВЗК, что приводит к появлению наряду с точками неединственности и единственности так называемых скрытых точек неединственности.