Статья: ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА КОРТЕВЕГА-ДЕ ФРИЗА С НАГРУЖЕННЫМ ЧЛЕНОМ В КЛАССЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ (2024)

Рассматриваются две задачи управления вдоль заданной траектории с помехой, в качестве которой выступает второй игрок в дифференциальной игре. Динамика первой задачи описывается нелинейной системой дифференциальных уравнений первого порядка, динамика второй - нелинейной системой дифференциальных уравнений второго порядка. Управление осуществляется посредством кусочно-постоянной функции, множество значений которой является конечным. Целью управления является движение сколь угодно близко к некоторой конечной траектории при любых действиях помехи. В первой задаче траектория определяется решением вспомогательной системы с простым движением. Во второй задаче траектория определяется решением вспомогательной управляемой системы дифференциальных уравнений второго порядка. В первой задаче показано, что для любой окрестности указанной траектории существует кусочно-постоянное управление преследователя, гарантирующее движение в этой окрестности, при любых действиях помехи, от начальной точки траектории до окрестности конечной точки траектории. Во второй задаче так же обеспечивается движение сколь угодно близко к произвольной конечной траектории вспомогательной системы, как фазовой траектории исходной системы, так и траектории скорости. Отсюда, во второй задаче доказана мягкая поимка, в которой помимо приведения фазовых координат в любую наперед заданную окрестность нуля, приводится еще и скорость в эту же наперед заданную окрестность нуля.

Для задачи Коши, связанной с нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнением в гильбертовом пространстве X, получены достаточные условия точной наблюдаемости на малом промежутке. За счет условия ограниченности снизу положительной константой на единичной сфере относительно линейного наблюдателя (оператора наблюдения) и с помощью теоремы Минти-Браудера задача наблюдаемости переформулируется в виде операторного (интегрального) уравнения с правой частью, содержащей (помимо вольтеррова, «локального» по времени слагаемого), также и нелокальный член. Однозначная разрешимость полученного операторного уравнения (уравнения восстановления состояния по наблюдению) доказывается с помощью принципа сжимающих отображений за счет предположения о малости промежутка наблюдения. Кроме того, доказываются две теоремы о глобальном восстановлении состояния: 1) по наблюдению на малом промежутке и при условии глобальной разрешимости некоторого мажорантного интегрального уравнения в пространстве R; 2) по серии наблюдений на малых промежутках при наличии априорной информации о принадлежности значений состояния ограниченному шару в X. В качестве примера (представляющего самостоятельный интерес) рассматривается полулинейное уравнение глобальной электрической цепи в атмосфере Земли.

Рассматривается нелинейная конфликтно управляемая система на конечном промежутке времени и в конечномерном евклидовом пространстве. Изучается задача о сближении с компактным целевым множеством в фиксированный момент времени. В рамках задачи о сближении исследуется один из ключевых вопросов - приближенное конструирование множеств разрешимости задачи. Обсуждается подход к приближенному конструированию, основу которого составляет модель, дополняющая метод унификации Н. Н. Красовского в теории дифференциальных игр.

В работе рассматривается дискретное уравнение Шрёдингера. Это характеристическое уравнение для оператора Шрёдингера определенного вида. Оно соответствует математической модели, которая описывает наноразмерные устройства, регулирующие транспорт электронов с помощью, например, эффекта Ааронова-Бома. В статье изучены общие спектральные свойства оператора, найдены собственные значения и резонансы, а также исследована задача рассеяния. В частности, найдены условия полного прохождения (то есть прохождения с вероятностью равной единице), указана возможность резонанса Фано.

Рассматривается задача управления параболической системой, которая описывает нагрев заданного количества неоднородных стержней. Управлением являются точечные источники тепла, которые располагаются на концах стержней. Некоторые граничные условия подвержены воздействию со стороны неконтролируемых помех. Функции плотности внутренних источников тепла стержней точно неизвестны, но заданы отрезки их изменения. Считается, что в некоторые моменты времени в уравнениях, описывающих динамику управляемой системы, могут происходить изменения. Эти моменты времени заранее не известны. Цель выбора управления заключается в том, чтобы в фиксированный момент времени взвешенная сумма средних температур стержней принадлежала заданному отрезку при любых допустимых реализациях помех, неизвестных функциях и моментах изменения динамики. После замены переменных эта задача сводится к одномерной задаче управления с помехой. Найдены необходимые и достаточные условия окончания.

В данной работе представлен новый подход к построению человеко-машинных систем доказательства теорем. Системы объединяют возможности машинного обучения, экспертные знания человека и строгий логический контроль для эффективного построения и верификации доказательств. Новизна подхода заключается в его открытости: в руки пользователя дается инструмент построения таких систем. С помощью него пользователь может создавать системы доказательства теорем, выбирая уже имеющиеся стратегии построения логического вывода или добавляя новые в соответствии с предоставленными интерфейсами или соглашениями о связях. Строящиеся системы имеют существенный человеко-машинный адаптивный характер. При их работе строится и обучается метастратегия на основе исходных элементов имеющихся стратегий. Система разработана как универсальная основа для управления различными стратегиями, с предоставлением базовой архитектуры и библиотеки стратегий с возможностью добавления новых. При обучении также накапливается и обучается система структурных характеристик, на основе которых принимается решение об использовании того или иного элемента стратегий на очередном шаге. Изложение ведется для секвенциального исчисления минимальной позитивной логики предикатов как наиболее подходящей для дедуктивного синтеза программ и алгоритмов, для чего и предполагается использовать данный подход.

Основным объектом работы является нелокальное уравнение баланса, описывающее эволюцию системы из бесконечно большого числа идентичных частиц, которые движутся в соответствии с векторным полем, а также могут исчезать или давать потомка. Для такой системы мы исследуем свойство выживаемости, которое означает, что система, начинающаяся внутри заданного множества мер, не покидает это множество. Мы приводим аналог теоремы о выживаемости типа Нагумо, которая дает эквивалентные формы свойства выживаемости в терминах касательного конуса.