Статья: О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ГЛОБАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ С ДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ГЕРАСИМОВА ––– КАПУТО (2025)

Работа посвящена проблеме Пуанкаре в аналитической теории дифференциальных уравнений, а именно построению асимптотик решений обыкновенных дифференциальных уравнений с голоморфными или мероморфными коэффициентами в окрестности иррегулярных особых точек в пространствах функций kэкспоненциального роста. В работе получен общий вид асимптотик решений дифференциальных уравнений с мероморфными коэффициентами в окрестности их иррегулярных особых точек.

Излагаются результаты о разрешимости нелокальных задач с интегральными по выделенной переменной t условиями для дифференциальных уравнений (оператор Лапласа по пространственным переменным x1,…, xn). Суть результатов  в нахождении достаточных условий существования и единствености регулярных решений (т. е. решений, имеющих все обобщенные по С. Л. Соболеву производные, входящие в уравнение ()).

Работа посвящена исследованию модели лазерного диода с оптоэлектронной обратной связью, представляющей собой сингулярно возмущенную систему. Установлена смена устойчивости инвариантного многообразия системы, которая может протекать по разным сценариям.

С использованием теории дробных степеней секториального оператора доказано существование единственного решения неполной задачи типа Коши для квазилинейного дифференциального уравнения в банаховом пространстве, разрешенного относительно старшей производной Римана  Лиувилля.

Рассматривается разрешимость аналога первой начальной краевой задачи для квазигидродинамической системы уравнений в приближении мелкой воды. При определенных условиях на данные показано, что существует единственное регулярное решение задачи локально по времени.

Изучается вопрос разрешимости спектральной нелокальной задачи Ионкина  Самарского для эллиптического уравнения второго порядка. Приведены некоторые свойства собственных чисел для эллиптических задач с нелокальными условиями Ионкина  Самарского. Для исследования использовался классический метод разделения переменных.

Представлена математическая модель и проведена оптимизация бетавольтаического элемента с пленкой из карбида кремния, активируемой радионуклидом 14C. Особое внимание уделено дифференциальным уравнениям, описывающим неравновесные процессы инжекции и динамику плотностей тока в гетеропереходе SiC/Si. Решая систему уравнений, возможно определить зависимости параметров от удельной активности и распределения источника активности, поставив обратную задачу.

Данная работа посвящена решению задачи о критических условиях для модели автокаталитического горения с учетом расхода реагента и окислителя. Для моделирования критических явлений используются асимптотические методы и техника склевания инвариантных многообразий.

Рассматривается начально-краевая задача для нелокального параболического уравнения с нелокальным граничным условием и неотрицательной начальной функцией. Найдены условия, гарантирующие глобальное существование решений, а также обращение решений в бесконечность за конечное время.

Проведено обобщение на случай многомерной модели Хестона асимптотической оценки функции плотности на бесконечности, доказанной ранее для случая однофакторной модели. Доказательство основано на аффинности модели Хестона, преобразовании Меллина и оценки полученных интегралов при помощи метода перевала.

Разработана методика параметрической идентификации системы дифференциальных уравнений математической модели неполной обратимости деформации ползучести. С использованием методов нелинейного регрессионного анализа найдены оценки случайных параметров системы на основе разностных уравнений. Получены соотношения, связывающие оценки параметров и коэффициенты разностных уравнений, разработаны итерационные процедуры уточнения параметров. Проведена апробация метода на большом объеме экспериментальных данных.

Рассматривается эволюционная модель ВИЧ, которая отражает динамику популяций здоровых и зараженных клеток. Эта модель после введения безразмерных переменных и параметров описывается сингулярно возмущенной системой интегро-дифференциальных уравнений с частными производными. Размерность полученной системы может быть понижена

Рассматривается дробно-волновое уравнение с меняющимся направлением эволюции. По аналогии с обычной производной ставится краевая задача в цилиндрической области. Доказано существование обобщенного решения. При некоторых дополнительных предположениях на коэффициенты доказана теорема единственности такого решения.

Рассматривается задача Дирихле, для которой доказано, что она разрешима в классе ограниченных функций, получены регулярные решения в рассматриваемой постановке.

Предложена математическая модель, описывающая углеродный цикл в болотных экосистемах северных регионов. Модель описывает концентрацию углерода в двух ключевых резервуарах: Live (живые растения-биомасса) и Mort (отмершие органические материалы). Основные процессы, учтенные в модели, включают фотосинтез, автотрофное и гетеротрофное дыхание, отмирание биомассы и вынос углерода грунтовыми водами. Процессы формализованы с учетом температуры и уровня грунтовых вод. Включение в модель уровня грунтовых вод позволяет учитывать различия между аэробным и анаэробным процессами разложения органики. Проведены численные расчеты на модельных данных. При низких температурах и высоком уровне грунтовых вод гетеротрофное дыхание замедляется, создаются анаэробные условия, что способствует накоплению углерода в почве. В условиях пониженного уровня воды доступ кислорода к органическому материалу увеличивается, что стимулирует аэробное разложение и увеличивает выбросы CO2. В отличие от моделей, ориентированных на глобальные процессы, данная работа учитывает специфику климатических, гидрологических и биохимических условий северных болот, что особенно важно для моделирования углеродного баланса в холодных регионах.

Существование классических решений было установлено в [( )] Тани А. и Тани Х., “Задача о двухфазном радиально-вязком переборе пальцами в ячейке Хеле-Шоу с поверхностным натяжением, I: Классическая разрешимость“, Мат. заметки СВФУ, 31, № 4, 82-105 (2024), для задачи о двухфазном радиально-вязком переборе пальцами в ячейке Хеле-Шоу под поверхностью напряжение (исходная двухфазная задача) посредством параболической регуляризации с малым параметром ε (> 0) в производных по времени и неоднородных членах ( параболическая регуляризованная двухфазная задача), обращающееся в нуль вдоль некоторой подпоследовательности {en}n2N из {ε > 0}. В этой статье мы доказываем единственность классических решений исходной двухфазной задачи. Это улучшает результат сходимости в [( )]: сходимость полной последовательности {ε > 0}, а не подпоследовательности {en} n2N, классических решений параболической регуляризованной двухфазной задачи к решениям исходной двухфазной задачи. Аналогичные результаты для некоторой однофазной задачи уже были изучены в Тани Х., “Классическая разрешимость задачи о радиальном вязком перебирании пальцами в ячейке Хеле-Шоу с поверхностным натяжением”, Сиб. Дж. Математика., 16, 79-92 (2016) (the existence) и в Тани А. и Тани Х., “О единственности классического решения задачи о радиальном вязком переборе пальцами в ячейке Хеле-Шоу с поверхностным натяжением”, Дж. Мех. Тех. Физика, 65, № 5 (2024) (уникальность).

Исследованы вопросы однозначной разрешимости линейных обратных коэффициентных задач для эволюционных интегро-дифференциальных уравнений типа Герасимова с сингулярным интегральным ядром в банаховых пространствах. Рассмотрены случаи ограниченного и секториального операторов при искомой функции в уравнении. В каждом из случаев получены критерии корректности для линейной обратной задачи с не зависящим от времени неизвестным коэффициентом, а также достаточные условия разрешимости и оценки корректности для линейной задачи идентификации с зависящим от времени неизвестным коэффициентом. Полученные абстрактные результаты проиллюстрированы на примере класса обратных задач для уравнений с частными производными.

Исследуется разрешимость нелокальных краевых задач с обобщенным условием Самарского  Ионкина для эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка c разрывным коэффициентом в старшей части. Доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений изучаемых задач, т. е. решений, имеющих все обобщенные по С. Л. Соболеву производные, входящие в соответствующее уравнение.

Работа является продолжением статьи ¾О первой смешанной задаче для вырождающихся параболических уравнений в звездных областях с ляпуновской границей в банаховых пространствах¿ // Мат. заметки СВФУ. 2023. Т. 30, № 1. С. 21–39, и посвящена исследованию поведения решения параболического уравнения второго порядка с вырождением Трикоми на боковой границе цилиндрической области QT, где Q  звездная область, граница которой ∂Q  (n − 1)-мерная замкнутая поверхность без края класса C1+, 0 < λ < 1.

При этом рассматриваются два случая принятия граничного условия: 1) по звездности, 2) выделяется некоторое ортогональное к границе направление и утверждается непрерывность решения как функции по специальной переменной со значениями в Lp по этому направлению. Для этого в определении принятия граничного значения при отображении границы ∂Q нужно брать сдвиг не по нормали в каждой точке x 2 ∂Q, а взять достаточно мелкое покрытие границы и каждый кусок этого покрытия ¾параллельно¿ сдвигать по нормали в одной фиксированной точке этого куска x0.

Рассматривается также вопрос об однозначной разрешимости первой смешанной задачи для уравнения, когда граничная и начальная функции принадлежат пространствам типа Lp, p > 1.

Для кусочно-линейной трехмерной динамической системы биохимической кинетики с трехступенчатыми правыми частями получены условия существования двух устойчивх циклов в ее фазовом портретете. Построены торические окрестности этих циклов