Научный архив: статьи

В проведенном исследовании изучена адаптация задачи, представленной в [5], в которой применяются методы нелинейного программирования в военных операциях, к контексту задач поиска. В статье представлены три сформулированные задачи поиска вместе с их численными решениями. Результаты показывают, что предложенные подходы имеют практическое значение для применения в армии, полиции и службах экстренного реагирования.

Для упрощения обычно весьма трудоемкой процедуры решения транспортных задач предложено два пути их возможной автоматической сегментации, которая заключается в выборе малых замкнутых подзадач транспортных задач произвольных размеров. При этом указан общий и весьма перспективный путь перехода от задач, требующих большого количества вложенных циклов, к одномерной задаче с единственным переменным параметром, равным количеству не требующихся теперь вложенных циклов. Для этого число, выражающее общее количество требующихся комплектов индексов, записывается в системе счисления с основанием, равным числу вложений, и величина, оказывающаяся на каждой из позиций полученного разложения, используется в качестве счетчика соответствующего цикла. Количество требующих вложения циклов практически не ограничено.

В работе приведено решение начально-краевой задачи о колебаниях твердых тел на упругом стержне. Решение ищется в виде разложения смещения твердых тел в ряд по их амплитудам, смещение стержня - в ряд по собственным формам колебаний стержня с одним и тем же коэффициентом в виде временной функции. Показано, что временная функция есть линейная комбинация гармонических функций с аргументом, равным произведению частоты и времени, с постоянными коэффициентами, зависящими от амплитуд твердых тел, начальных условий и собственных частот механической системы. С учетом того, что форма колебаний стержня представляет собой линейную комбинацию амплитуд твердых тел, окончательное решение зависит от этих амплитуд. В настоящей работе установлена пропорциональность амплитуд твердых тел фиксированной амплитуде с коэффициентом пропорциональности, зависящим только от частоты и параметров системы. В результате в решении амплитуды твердых тел сокращаются и остаются их коэффициенты пропорциональности. Кроме того, из введенных гильбертовых пространств с ортонормированными системами векторов выведены проверочные соотношения, позволяющие убедиться в адекватности полученных решений.

Рассматривается задача оптимального управления процессом, описываемым классическим параболическим уравнением с динамическим граничным условием. Управляемое граничное условие на одном из концов области определяется из решения начальной задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с постоянным запаздыванием. Допустимые управления принадлежат классу непрерывно дифференцируемых функций и удовлетворяют поточечным ограничениям. В силу гладкости управлений в исследуемой задаче затруднительно применение принципа максимума Л. С. Понтрягина и соответствующих методов. На основе использования неклассической «внутренней» вариации управления доказано необходимое условие оптимальности первого порядка. Схематически изложен итерационный метод решения задачи. На каждой итерации алгоритм обеспечивает улучшение управления и сходимость к выполнению доказанного необходимого условия оптимальности. Приведен иллюстративный пример, демонстрирующий эффективность предлагаемого метода.

В работе исследуется иерархия сверточных тождеств в комбинаторных структурах Паскаля. На основе геометрической интерпретации элементов как числа путей в целочисленной решетке получены обобщения для треугольника, пирамиды и гиперпирамид произвольной размерности. Построена полная иерархия результатов, демонстрирующая, что все рассмотренные тождества являются частными случаями единой теоремы. Введена операция инверсии индексов, позволяющая интерпретировать свертку как наложение слоев. Для каждого уровня иерархии приведены подробные примеры с пошаговыми вычислениями. Обсуждены приложения в помехоустойчивом кодировании, криптографическом разделении секрета и сжатии данных.

В статье обсуждаются некоторые свойства вариационных рядов. В большей части это касается асимметричных теоретических распределений. Особый интерес представляет вопрос сравнения двух и более вариационных рядов, допускаемых с разными объемами выборки и разным размахом варьирования. Симметричное теоретическое распределение при выполнении основных условий центральной предельной теоремы не требует дополнительного анализа в вычислениях экстремальных значений исследуемых рядов. Для асимметричных теоретических распределений предложен алгоритм составления дополнительного абстрактного ряда, который выравнивает исходный, сводя центральный момент третьего порядка к нулю. Он получается смещением исходного ряда с теми же характеристиками размаха вариации, дисперсии. При этом вычислительный процесс нахождения смещения сопровождается приближенными вычислениями. Одна из границ построенного вспомогательного ряда выражает комплексное экстремальное значение исходного ряда, где учитывается ближняя окрестность соответствующей границы. Преимущественно выявленные свойства установлены при представлении рядов теоретическим нормальным законом распределения. Предложенный подход может оказаться пригодным в критических ситуациях установления приоритетного ряда.

С целью выяснения обстоятельств получения различных ответов в одной и той же задаче рассматривается несколько путей решения известной задачи об оценке вероятности случайного выбора остроугольного треугольника. Задача решается в различных вероятностных пространствах: I) величины наибольшего угла; II) косинуса наибольшего угла, а также с помощью теоремы косинусов; III) в пространстве двух меньших углов треугольника; IV) двух его меньших сторон. Показано, что рассмотренные вероятностные пространства, имеющие различную размерность и различные системы координат, допускают переходы от одного к другому с выходом на единственное решение задачи. Для применения геометрического определения вероятности важно предварительно проанализировать вопрос о равномерности заполнения этих пространств точками-событиями, что необходимо для этого способа определения вероятности. Методически полезный результат заключается в том, что «выравнивание» плотности точек событий в вероятностном пространстве не может быть достигнуто с помощью какой-либо нормировки на дифференциальную меру плотности подмножеств, характеризующую постоянство самих анализируемых значений. Кроме того, использование различных подходов к решению задачи позволяет лучше понимать ее математическую сущность. В качестве одного из практических приложений полученных результатов оценивается вероятность изменения пространственной ориентации массива случайно расположенных элементов в виде треугольных призм и четырехгранных пирамид на твердой поверхности при неразрушающем сжатии, составившая 0.5.

В статье представлен анализ безреверсных мехатронных манипуляторов (БММ) - нового класса механизмов с высоким быстродействием и сложными циклоидальными траекториями рабочих органов. Рассмотрены компоновочные структуры (планетарные, шарнирно-рычажные, зубчато-рычажные), методы кинематического описания и система управления. Показана роль аддитивных технологий и быстрого прототипирования на основе 3D-моделей для ускорения проектирования, снижения затрат и повышения наглядности разработки. Отмечены преимущества (гибкость, интеграция с CAD) и ограничения методов (стоимость, точность, прочность). Обоснована необходимость учета взаимосвязей информационных, массоинерционных и энергетических параметров. Сделан вывод о перспективности БММ в промышленности и робототехнике для создания конкурентоспособных высокотехнологичных решений в мехатронике.

Для приближенного решения задачи оптимального управления с ограничениями рассматривается ее аппроксимация в классе кусочно-постоянных управлений в форме конечномерной задачи оптимизации. В конечномерной задаче конструируется условие оптимальности в виде задачи о неподвижной точке в пространстве управлений. Такое представление позволяет применить и модифицировать известную теорию и методы решения задач о неподвижной точке для поиска кусочно-постоянных экстремальных управлений в системах с ограничениями. Эффективность предлагаемого подхода неподвижных точек для поиска приближенных экстремальных управлений в задаче оптимального управления с ограничениями иллюстрируется на тестовом примере.

Задача оптимального управления с фазовыми ограничениями сводится к эквивалентной задаче оптимального управления с одним терминальным ограничением. Для этой задачи конструируются необходимые условия оптимальности в виде задачи о неподвижной точке. Такой вид задачи позволяет построить проекционный итерационный метод для поиска экстремальных управлений в системах с фазовыми ограничениями. Эффективность метода демонстрируется на модельном примере.

В классе нелинейных задач оптимального управления разрабатываются условия оптимальности и нелокального улучшения управления с использованием модификации стандартной сопряженной системы. Такая модификация позволяет строить формулы приращения функционала, не содержащие остаточных членов разложений. Эти формулы служат основой для конструирования условий улучшения и оптимальности управления в форме систем уравнений, для решения которых используется известный в математике аппарат неподвижных точек. Предлагаемые методы для поиска экстремальных управлений не опираются на локальные вариации управления, а строят улучшающую последовательность управлений на основе построенных формул приращения функционала. Доказывается сходимость итерационных процессов построенных методов по невязке принципа максимума.

В статье проведено изучение стационарных движений механической автономной консервативной системы, для которой может существовать частный интеграл Д. К. Бобылева. Для системы с частным интегралом Бобылева переходом невырожденной заменой переменных к другой системе координат показана эквивалентная система с частным интегралом Стеклова. В связи с этим нахождение здесь стационарных движений механических систем с частным интегралом Бобылева основано по аналогии с поиском стационарных движений, содержащих частный интеграл Стеклова. Последние ранее изучены и проведено исследование их устойчивости. Их отыскание опирается на известный эффективный метод Рауса - Ляпунова. При этом большее применение получила неполная связка из первых интегралов, состоящая из общих интегралов: энергии, кинетического момента и Пуассона. Другие два оставшихся первых интеграла, из которых один является частным Бобылева, можно не принимать во внимание и в вычислениях они могут не участвовать. Вместе с тем необходимо учитывать только условия существования частного интеграла Бобылева. В статье были осуществлены поиски стационарных движений двумя подходами. Один из них не учитывал возникающий дополнительный общий интеграл, другой проводил вычисления с учетом этого интеграла. На основе оценки сложности составления решений стационарности и проверки их соответствия стационарности показана предпочтительность первого подхода. Стационарными движениями получены положение покоя и перманентные вращения.