Статья: ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ЧИСЛА ВЕРШИН ЗАДАННОЙ СТЕПЕНИ В УСЛОВНОМ КОНФИГУРАЦИОННОМ ГРАФЕ (2026)

Рассматриваемый класс схем размещения частиц по ячейкам характеризуется введением верхнего ограничения уровней заполнения ячеек с его обязательным достижением хотя бы в одной ячейке каждого исхода каждой схемы. Схемы различаются между собой парными качествами составляющих их элементов (ячеек и частиц) по их различимостям. Из направлений исследования схем выделяются представляющие наибольший интерес по нестандартным приемам доасимптотического анализа и получению новых результатов – это нумерованные бесповторные перечисления исходов схем и нахождение их чисел.

В схемах S размещения r частиц по n различимым ячейкам изучаются их размещения в выделенных m ячейках – схем S∗, для которых проводится анализ новым перечислительным методом (ПМ) по расширенным направлениям перечислительной комбинаторики: нахождения числа исходов и на основе построения модели их бесповторного нумерованного перечисления – решения для них задачи нумерации в прямой и обратной постановках по установлению взаимнооднозначного соответствия между их видами и номерами и введения управляемого вероятностного распределения на множестве исходов схемы.

Пусть r, r1 - целые неотрицательные числа, r < r1, η1,… ηN - обобщенная схема размещения (r1 - r)n + rN частиц по N ячейкам, определенная независимыми случайными величинами ξ1,… ξN, которые имеют распределение степенного ряда, определенное рядом ∑∞ k=0 bk βk k!, случайный процесс X{r1} n, N (t) = ∑[tN ] i=1 I{ηi=r1}, 0 t 1, Fn - эмпирический процесс с параметром n. Показано, что если n, r, r1 - фиксированные числа и выполнено условие Ar(r1): bk = 0, k < r, br > 0, bk = 0, r < k < r1, br1 > 0, то при N → ∞ cлучайные процессы X{r1} n, N cходятся по распределению в пространстве Скорохода к cлучайному процессу nFn.

Рассматриваются конфигурационные графы с N вершинами. Степени вершин графа являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами, распределение которых удовлетворяет условию: при k→∞ pk=P{ξ=k}∼h(k)/kτ+1,τ>0, где случайная величина ξ равна степени любой вершины графа, а h(x)обозначает медленно меняющуюся на бесконечности функцию. Исследуется глобальный кластерный коэффициент условного конфигурационного графа приразличных значениях параметра τ > 0. Получены предельные теоремы для этой характеристики при стремлении числа вершин к бесконечности.

Дерево решений — это один из алгоритмов машинного обучения, у которого есть ряд преимуществ (хорошая интерпретация, возможность работы с разными типами данных, автоматическое формирование правил и пр.). В некоторых задачах, где набор данных ограничен, а признаки связаны между собой (например, в задаче атрибуции текстов), можно при построении условий в узлах модели использовать не одиночные признаки, а их линейные комбинации. С учетом этого в статье изложено развитие метода «дерево решений», которое заключается в том, что к старым k признакам добавляются новые признаки как линейные комбинации двух исходных: xij = αxi ± (1 − α)xj, где i, j = 1,…, k и параметр α ∈ [0, 1]. Для проведения численных экспериментов на примере задачи атрибуции текстов выполнена реализация построения линейных комбинаций признаков в информационной системе СМАЛТ («Статистические методы анализа литературного текста»). Результаты классификации дореволюционных текстов из журналов «Время», «Эпоха» и еженедельника «Гражданин» с использованием разных видов n-грамм показали, что данное улучшение повышает точность метода, при этом несущественно снижает интерпретацию полученного результата.

Ориентированные графы и сети, имеющие небольшой масштаб, высокую плотность и распределение весов дуг с тяжелым хвостом, являются интересными объектами исследований в силу указанных особенностей. Одним из ярких примеров таких сетей является Всемирная торговая сеть экспортно-импортных торговых потоков между странами, плотность которой превышает 90 %. При анализе сети, как правило, используются базовые характеристики, традиционно применяемые в теории графов и сетевом анализе. В работе предлагается подход, основанный на совмещении «парадокса дружбы», используемого для оценки локальной значимости участников сети, и функции диспаритета, применяемого для отсеивания слабых связей на основе статистической значимости. Полученные результаты и их содержательная интерпретация позволяют глубже понять сложную структуру, скрытую за малой размерностью таких сетей.

Рассматриваются леса Гальтона - Ватсона, порожденные однородным критическим ветвящимся процессом с N начальными частицами, в котором числопрямых потомков каждой частицы является случайной величиной ξ с распределением pk=h(k+1)/(k+1)τ, k=0,1,2,…, τ ∈(2,3), где h(x)- медленно меняющаяся на бесконечности функция. Предполагается, что число некорневых вершин случайного леса равно n. Пусть μr- число деревьев с rвершинами. Доказаны теоремы о скорости сходимости распределенийμrк нормальному закону при N, n, r →∞ и n/N ≤ C < ∞.

Рассматриваются леса Гальтона - Ватсона с N корневыми деревьями и n некорневыми вершинами. Предполагается, что такие леса образуются критическим ветвящимся процессом, в котором число прямых потомков каждой частицы имеет распределение pk=h(k+1)/(k+1)τ, k=0,1,2,…, τ ∈(2,3), где h(x)- медленно меняющаяся на бесконечности функция. Найдены предельные распределения числа деревьев заданного объема, если N, n →∞, n/N →∞.

Представлена и исследована теоретико-игровая математическая модель управления заданиями в вычислительной системе с линейными экстерналиями. Каждый игрок стремится максимизировать свою производительность в присутствии положительных экстерналий. Предложенная модель описывает управление заданиями в системе добровольных вычислений типа Desktop Grid, а экстерналии выражают обмен информацией в процессе решения научной задачи. Системы Desktop Grid задействуют вычислительные мощности неспециализированных компьютеров, объединенных сетью передачи данных и выполняющих вычисления в то время, когда они не заняты другой работой. В таких системах вычислительноемкая научная задача зачастую делится на несколько взаимосвязанных подзадач, выполняемых параллельно. Промежуточные результаты решения одной подзадачи способны помогать в решении остальных подзадач, оптимизируя или сокращая вычисления. В данной работе доказано, что игра является потенциальной в случаях однородных процессоров или заданий и одинаковых экстерналий, инвариантных или симметричных экстерналий. При этом в случаях с однородными процессорами или заданиями и одинаковыми экстерналиями или инвариантными экстерналиями равновесие по Нэшу единственно и глобально оптимально, в то время как случай с симметричными экстерналиями допускает множество равновесий по Нэшу в чистых стратегиях. Приводятся результаты вычислительных экспериментов по моделированию управления заданиями предложенным методом в сравнении с рядом популярных алгоритмов. Представленные результаты расширяют область применения классических моделей, доказывая существование равновесия и сходимость к нему как в задачах минимизации задержки, так и в задачах максимизации производительности. Найденный вид функции потенциала позволяет использовать методы глобальной оптимизации для поиска равновесий.

В работе представлена модель системы биологической очистки осадков сточных вод. Поставлена задача стабилизации процесса биоочистки при кусочнопостоянном входном потоке загрязнений для общего вида трофических функций, описывающих процесс окисления и входные потоки. Модель представляет собой систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Посредством замены переменных построена более простая для анализа вспомогательная система линейных дифференциальных уравнений. Для нее показано существование периодического решения. На основе данного результата решена задача стабилизации исходной системы биоочистки. Получен вид управлений, обеспечивающих локализацию периодического решения. Показано, что для любых начальных данных происходит синхронизация решений системы.

В работе дано определение топологической размерности dim ξ максимальных сцепленных систем (м. с. с.) замкнутых подмножеств метризуемого компакта X. По определению dim ξ, есть точная нижняя грань нижних размерностей квантования м. с. с. ξ по всем метрикам, совместимым с топологией X. Предложенное определение dim ξ мотивировано теоремой Понтрягина –Шнирельмана, характеризующей топологическую размерность метризуемого компакта как инфимум нижних емкостных размерностей этого компакта по всем совместимым метрикам. Для любого метризуемого компакта X и любой м. с. с. ξ выполняется неравенство dim ξ  dimX. При этом для конечномерного метризуемого компакта X справедлива следующая теорема о промежуточных значениях размерности dim ξ: для любого целого числа k, удовлетворяющего неравенствам 0  k  dimX, существует м. с. с. ξk такая, что dim ξk = k. Доказано, что для всех рассмотренных ранее м. с. с. с известными значениями размерностей квантования размерность dim ξ является целым числом. В частности, построенные по технологии Е. В. Кашубы м. с. с. ξ(A, B) всегда нульмерны в топологическом смысле.

Представленмето д параметрической идентификации модели термодесорбции водорода из конструкционных материалов на основе помехоустойчивых интегральных операторов обработки измерений и теории сопряженных задач математической физики. Особенность модели заключается в том, что производная по времени входит не только в уравнение диффузии, но и в нелинейные граничные условия. В простейшем случае при преобразовании к эквивалентному интегро-дифференциальному уравнению это приводит к появлению производных дробного порядка. В общей терминологии теории динамических систем это содержательный пример сиcтемы с памятью. В физических терминах: поверхностная и объемная концентрации «помнят» свою предысторию.

Представлено точное решение нестационарных уравнений Навье –Стокса, описывающее трехмерное изобарическое течение вязкой несжимаемой жидкости в горизонтальном слое с проницаемыми границами. Скоростное поле ищется в классе Линя, что позволяет свести исходную систему к одномерным уравнениям для амплитудных функций, зависящих от вертикальной координаты и времени. Показано, что вертикальная компонента скорости постоянна и соответствует равномерному отсосу или вдуву. Получены аналитические выражения для эволюции полей скорости, включая нелинейную компоненту, описывающую вертикальную завихренность. Задача Штурма – Лиувилля для оператора конвекции-диффузии решается аналитически с учетом условия проскальзывания Навье на нижней границе. Для компоненты, возбуждаемой нелинейным источником, использован интеграл Дюамеля. Проведен параметрический анализ влияния вертикального числа Рейнольдса, модифицированного числа Тейлора, угла направления скорости на верхней границе и параметра проскальзывания на динамику течения. Установлены режимы с развитыми противотечениями и застойными точками. Показано, что при отрицательном вертикальном числе Рейнольдса (отсос) время релаксации убывает с ростом проскальзывания, что качественно отличается от классического случая прилипания. Полученные результаты могут быть использованы для верификации численных алгоритмов и при моделировании гидродинамических процессов в пористых средах, мембранных аппаратах и каталитических слоях, где важны нестационарные эффекты и наличие проницаемых границ.

В статье предлагается подход к количественному анализу социальной структуры русских литературных сообществ на основе построения графа личных взаимодействий писателей. Актуальность исследования обусловлена дефицитом структурированных датасетов в данной предметной области и возрастающей ролью методов цифровых гуманитарных наук (Digital Humanities) в изучении социодинамики литературы. Эмпирической базой для построения математической модели сообщества послужил перечень авторов из официального «Кодификатора ЕГЭ по литературе» (2026 г.), что исключает преднамеренную связность авторов. С помощью нейросетевых моделей (DeepSeek, YandexGPT) и последующей верификации экспертом были собраны данные о социальных связях (личное общение, переписка, членство в союзах) для 102 русских писателей 1757–2003 гг. Проведенный анализ сетевой структуры социальных взаимосвязей между писателями выявил типичные для социальных сетей свойства графа. Для ранжирования писателей предложена комбинированная метрика, сочетающая локальную и глобальные центральности, показана ее корреляция с алгоритмом PageRank. Предложенный подход к построению графа социальных взаимодействий дает результаты, согласованные с экспертными источниками, и может быть использован для социодинамического анализа литературных сообществ. Методы анализа социальных сетей хорошо применимы для изучения литературных сообществ и позволяют предложить альтернативный подход к оценке статуса писателя через структуру личных связей.