Статья: О МНОГОМЕРНЫХ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЙ С ОПЕРАТОРОМ ЛАПЛАСА-МОНЖА-АМПЕРА (2025)

Рассматривается задача о последовательном обходе мегаполисов с условиями предшествования и функциями стоимости, допускающими зависимость от списка заданий. Предполагается, что все множество заданий разбито в сумму непустых подмножеств (групп); требуется последовательно решать частичные задачи о посещении мегаполисов в каждой из групп. Очередность посещения самих групп задана априори. Предполагается, что условия предшествования общей задачи локализуются в упомянутых группах. Постановка ориентирована на инженерную задачу управления инструментом при фигурной листовой резке деталей зонами на машинах с ЧПУ. В качестве основного метода используется динамическое программирование в условиях декомпозиции, когда оптимальные процедуры реализуются для каждой из частичных задач в отдельности, после чего осуществляется специальная склейка полученных решений. Тем самым решается вопрос о декомпозиции исходной «большой» задачи в систему частичных задач умеренной размерности. На основе теоретических конструкций построен работоспособный алгоритм, реализованный на ПЭВМ. Приведено решение модельных примеров.

Рассматривается решеточная неэрмитова модель сверхпроводимости Боголюбова-де Жена, основанная на периодической модели Китаева, с локальными потенциалами двух видов. Один из них формирует невзаимные переходы электрон-электрон и дырка-дырка, а другой - невзаимный переход электрон-дырка. Найдены условия существования и аналитические формулы для собственных функций с нулевым собственным значением, описывающих майорановские состояния.

Рассматривается нелинейное диффузионное уравнение с двумя пространственными переменными и несколькими переменными запаздываниями по времени. Производится дискретизация задачи. Приводятся конструкции метода переменных направлений с кусочно-линейной интерполяцией и экстраполяцией продолжением, который имеет второй порядок малости относительно шага дискретизации по времени Δ и по пространству h. В результате метод сводится к решению на каждом шаге времени двух трехдиагональных систем линейных алгебраических уравнений, которые имеют диагональное преобладание. Данные системы эффективно решаются с помощью метода прогонки. Изучается порядок невязки без интерполяции метода. При определенных предположениях обосновывается сходимость метода с порядком O(Δ2+h2). Приводятся результаты численного моделирования для диффузионного уравнения с двумя переменными запаздываниями. Вычислимые порядки сходимости по каждому шагу дискретизации в примерах оказались близки к теоретически полученным порядкам сходимости по соответствующим шагам дискретизации.

В статье рассмотрен чисто алгебраический (то есть без производных) подход к описанию физико-химических процессов в приближении сплошной среды как обобщение схемы Годунова. Данный подход основан на разделении области на конечные объёмы такого размера, что среда в них является сплошной. Математическая модель исследуемых физико-химических процессов в каждом объёме состоит из законов сохранения, феноменологических законов и уравнения состояния. Согласно молекулярно-кинетической теории, все макропараметры (плотность, температура, давление и др.) являются постоянными в открытых конечных объёмах и разрывны на их гранях. Преимуществом алгебраического подхода (так называемой вычислительной макромеханики) является более простое и точное математическое описание моделируемых процессов, что важно для программ, устроенных по принципу «чёрного ящика». Одной из проблем является формулировка феноменологических законов градиентного типа (Фурье, Фика, Ньютона и др.), поскольку в вычислительной макромеханике макропаметры определены в конечных объёмах, а не в точках. В статье сначала получено выражение удельной плотности теплового потока в идеальном газе. Далее получено выражение для коэффициента теплопроводности в дисконтинуальном приближении в предположении, что континуальная температура изменяется линейно в каждом конечном объёме, а коэффициент теплопроводности зависит линейно от температуры. Рассмотрены различные варианты построения разностных схем вычислительной макромеханики. В завершении приведены результаты одномерного вычислительного эксперимента, иллюстрирующего теоретический анализ.

Рассматривается задача назначения спектра собственных значений в обобщенной постановке. Коэффициенты системы представляют собой блочные матрицы. Для блочных матричных билинейных систем управления получены достаточные условия разрешимости задачи назначения произвольных матричных коэффициентов характеристического матричного полинома, когда коэффициенты системы имеют специальный вид, а именно, матрица состояния является нижней блочной матрицей Хессенберга, а матричные коэффициенты при регуляторе содержат некоторые нулевые блоки. Основной результат обобщает соответствующую теорему для блочных матричных билинейных систем управления с нижней блочной матрицей Фробениуса и для блочной матричной линейной системы управления, замкнутой линейной статической обратной связью по выходу. Приведен пример, иллюстрирующий полученный результат.

Статья посвящена исследованию асимптотического поведения класса систем управления с многомерными периодическими нелинейностями и счетным множеством положений равновесия. Такие системы традиционно называют системами синхронизации или маятниковыми системами. Их устойчивость определяется как сходимость любого решения к одному из положений равновесия. Динамика систем синхронизации не может быть изучена классическими методами, предназначенными для систем с единственным положением равновесия. Поэтому в рамках классических методов А. М. Ляпунова и В. М. Попова были разработаны специальные методы, позволяющие генерировать условия сходимости решений и условия отсутствия колебаний определенной частоты. Для систем с многомерными нелинейностями эти условия имеют форму матричных частотных неравенств с варьируемыми параметрами. В этой статье обосновывается оптимальный выбор варьируемых параметров, позволяющий получать улучшенные оценки областей устойчивости и областей отсутствия высокочастотных колебаний в пространстве параметров конкретных систем.

В работе рассматриваются нелокальные задачи управления и оптимального управления линейной нестационарной динамической системой, описываемой обыкновенным дифференциальным уравнением с неразделенными многоточечными условиями и с интегральным условием, наложенным на компоненты фазового вектора в некоторой части промежутка времени функционирования системы. Для задачи оптимального управления предполагается, что критерий качества задан на всем промежутке времени функционирования системы и имеет смысл нормы некоторого нормированного пространства. Сформулированы условия вполне управляемости динамической системы с наложенными нелокальными условиями. Получены условия, при выполнении которых существует решение задачи управления с такими нелокальными условиями, и построено это решение. Предложен конструктивный подход решения задач управления и способ построения функции оптимального управления. Показана непрерывность и неединственность функции управления. В качестве иллюстрации приведено решение конкретной задачи управления.

Рассматривается группа мобильных агентов на прямой. В качестве моделей агентов используются интеграторы первого и второго порядков. Предлагаются децентрализованные протоколы управления, обеспечивающие как равномерное, так и заданное нелинейно-равномерное (равномерное по отношению к некоторой функции) размещения агентов на отрезке прямой. Построение данных протоколов основано на информации, получаемой агентами о положениях своих соседей, причем эта информация поступает не напрямую, а через вспомогательных агентов. Кроме того, в сигналах от соседей имеется постоянное запаздывание, а связи между агентами могут нарушаться и восстанавливаться в произвольные моменты времени. С использованием методов теории позитивных систем и метода функционалов Ляпунова-Красовского доказано, что предложенные алгоритмы управления являются робастными по отношению к коммуникационному запаздыванию и переключениям сетевой топологии.