Публикации автора

В работе приведено решение начально-краевой задачи о колебаниях твердых тел на упругом стержне. Решение ищется в виде разложения смещения твердых тел в ряд по их амплитудам, смещение стержня - в ряд по собственным формам колебаний стержня с одним и тем же коэффициентом в виде временной функции. Показано, что временная функция есть линейная комбинация гармонических функций с аргументом, равным произведению частоты и времени, с постоянными коэффициентами, зависящими от амплитуд твердых тел, начальных условий и собственных частот механической системы. С учетом того, что форма колебаний стержня представляет собой линейную комбинацию амплитуд твердых тел, окончательное решение зависит от этих амплитуд. В настоящей работе установлена пропорциональность амплитуд твердых тел фиксированной амплитуде с коэффициентом пропорциональности, зависящим только от частоты и параметров системы. В результате в решении амплитуды твердых тел сокращаются и остаются их коэффициенты пропорциональности. Кроме того, из введенных гильбертовых пространств с ортонормированными системами векторов выведены проверочные соотношения, позволяющие убедиться в адекватности полученных решений.

Ставится начально-краевая задача о механических движениях нескольких твердых тел, упруго закрепленных продольно на упругом стержне. Решение описывающих эти колебания системы дифференциальных уравнений, включающей в себя как обычные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных, понимается в обобщенном смысле. Использование обобщенного решения объясняется наличием в уравнениях этой системы дельта - функции, сосредоточенной в местах крепления тел к балке. Производится известная подстановка, сводящая гибридную систему дифференциальных уравнений к системе амплитудных уравнений для твердых тел и стержня. Путем преобразований этих уравнений получается условие типа ортогональности. Приводится разложение решений в ряды Фурье по постоянным амплитудам твердых тел и собственным формам стержня с переменным коэффициентом, зависящим от времени. Описана методика определения этих переменных коэффициентов, которые зависят от собственных частот механической системы и форм колебаний стержня, амплитуд твердых тел и начальных смещений твердых тел и стержня. Введено гильбертово пространство с заданной системой ортогональных единичных векторов, которое позволило выразить неизвестные амплитуды твердых тел через начальные смещения твердых тел и стержня. Результатом работы явилось решение поставленной задачи в виде разложений в ряды Фурье в замкнутой форме, что позволяет произвести численные расчеты, если решена задача на собственные частоты и формы колебаний рассматриваемой механической системы.

В статье рассматривается математическая модель и конечноразностная схема процесса нагрева пластины, бесконечной по двум пространственным переменным. Приводятся недостатки использования классического параболического уравнения теплопроводности для данного случая, а также обоснование использования смешанного уравнения. В разностных схемах применяется интегро-интерполяционный метод для уменьшения погрешностей. В качестве краевых задач выбраны две аналогичные задачи, но с разными коэффициентами теплопроводности. В первом случае коэффициент теплопроводности линейный, а во втором - нелинейный. Для решения уравнения с нелинейным коэффициентом теплопроводности используется метод Ньютона. Источник тепла в параболической части уравнения равен 0, а в гиперболической части уравнения начинается резкий нагрев. Поставлена и численно решена смешанная задача с краевыми условиями третьего рода.

В работе представлена вычислительная модель решения первой краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных параболо-гиперболического типа в двумерном пространственном случае по явной и неявной разностным схемам. Математическая модель и эти конечно-разностные схемы разработаны для исследования тепловых процессов при отключении электрической дуги в спутном потоке газа. Анализируются недостатки использования классического параболического уравнения теплопроводности для данного случая. Приводятся результаты работы программ, реализованных в MathCad-15, которые позволяют рассчитать изменение поля температуры в указанный период времени в прямоугольной области для переменных по пространственным координатам и времени бокового теплоотвода и внутреннего источника тепла. Для дискретизации по времени смешанного уравнения теплопроводности был использован метод локальноодномерной схемы.

В работе рассматривается математическая модель для смены режимов коммутации электрической дуги. В отличие от квазистационарного теплового режима амплитудного горения дуги, хорошо описываемого классическим параболическим уравнением теплопроводности, в области перехода переменного тока через 0, когда дугу отключают современными выключателями в среде элегаза, необходимо применять гиперболическое уравнение в связи с существенной нестационарностью протекаемого процесса. Отсюда возникает постановка начально-краевой задачи для нелинейного гиперболопараболического уравнения, а также необходимость ее исследования с учетом нелинейности коэффициента теплопроводности. Для нее разработаны алгоритм и программа численного решения в широко используемом в настоящее время пакете программирования Python с визуализацией в графическом пакете Matplotlib и применением метода неявных конечно-разностных схем для краевых условий первого рода.

The article discusses a mathematical model and a finite-difference scheme for the heating process of an infinite plate. The disadvantages of using the classical parabolic heat equation for this case and the rationale for using the hyperbolic heat equation are given. The relationship between the hyperbolic thermal conductivity equation and the theory of equations with the retarded argument (delay equation) is shown. The considered mixed equation has 2 parts: parabolic and hyperbolic. Difference schemes use an integro-interpolation method to reduce errors. The problem with a nonlinear thermal conductivity coefficient was chosen as the initial boundaryvalue problem. The heat source in the parabolic part of the equation is equal to 0, and in the hyperbolic part of the equation sharp heating begins. The initial boundary-value problem with boundary conditions of the third kind in an infinite plate with nonlinear coefficients is formulated and numerically solved. An iterative method for solving the problem is described. A visual graph of the solution results is presented. A theoretical justification for the difference scheme is given. Also we consider the case of the nonlinear mixed equation of the fourth order.