В статье кратко освещается работа XVI Всероссийской научной конференции «Современная логика: проблемы и перспективы», которая проходила 27–29 июня 2024 г. в Институте философии Санкт-Петербургского государственного университета, даются аннотации сделанных докладов, описываются другие события в рамках этого научного мероприятия.
Статья посвящена переписке выдающегося бразильского логика и философа Ньютона да Косты (16.09.1929 Куритиба, Бразилия – 16.04.2024, Флорианаполис, Бразилия), который внес значительный вклад в создание и развитие паранепротиворечивой логики, с В. А. Бажановым, а также отношениям да Косты с советскими/российскими логиками и философами. Публикуемые письма Ньютона да Косты автору данной статьи были частью регулярной переписки, которая продолжалась с 1986 по 2021 г. Они раскрывают его взгляды на развитие логики в России, а также обстоятельства его контактов с советскими и российскими логиками. В своих письмах да Коста отдает должное заслугам Н. А. Васильева, который в своей «воображаемой логике» первым предложил создать логику, свободную от законов (не)противоречия и исключенного третьего, и поэтому считается фактическим предтечей современной неклассической логики в целом и паранепротиворечивой логики в частности. Да Коста выражал глубокое уважение к российской культуре и науке, подчеркивал необходимость тесного сотрудничества между учеными разных стран, делился своими впечатлениями от посещения (вместе с дочерью) конгресса по логике, методологии и философии науки в Москве летом 1987 г.
В статье исследуется специфика аргументативного следования. В числе важных его характеристик выделяются требование истинности аргументов (или, по крайней мере, их непротиворечивости) и модифицируемость, предполагающая потенциальную опровержимость аргументативных рассуждений в свете критики и/или новой информации. На основании этих соображений предлагается семантическая трактовка аргументативного следования как некоторого ограничения классического: к стандартному определению следования добавляется условие, обеспечивающее непротиворечивость исходных аргументов — наличие приписывания значений переменным, при котором множество формул, составляющих посылки аргументативного рассуждения, совместимо по истинности. Это неформально обосновываемое условие приводит к модифицируемости следования. Добавление к исходному множеству посылок произвольной информации (возможно, противоречивой или противоречащей принятым ранее посылкам) становится недопустимым. Далее в статье строится исчисление выводимостей, формализующее введенное понятие аргументативного следования, и доказывается его семантическая адекватность. Построенная логика служит основой для релевантизированного варианта формализации аргументативного следования, к определению которого добавляется условие не-тавтологичности заключения.
В статье содержится описание возможного нового направления для логики вычислимости, сосредоточенного на вычислимости без бесконечной памяти или других невозможных для обладания вычислительных ресурсов. Новый подход рассматривает такие ресурсы как внешние, а не внутренние для вычислительных устройств. Они могут и должны быть учтены явно в антецедентах логических формул, выражающих вычислительные задачи.
В одной из недавних статей я представил логику для кросс-мировой предикации (CWPL, crossworld predication logic). Кросс-мировая предикация — это атрибуция отношений объектам, каждый из которых ассоциирован с некоторым возможным миром. (Интуитивно, объект, ассоциированный с возможным миром — это объект, каков он в этом мире). CWPL — это модальная логика первого порядка с равенством и λ-оператором. Ее преимущество перед другими известными мне логиками для кросс-мировой предикации (в частности, перед логиками, разработанными Баттерфилдом и Стерлингом, Вемайером и Коцуреком) состоит в том, что она базируется на стандартном языке модальной логики первого порядка. В семантическом плане CWPL основана на кросс-мировой интерпретации предикатов, при которой n-местный предикат получает экстенсионал для каждой упорядоченной n-ки возможных миров, а не для каждого отдельного возможного мира. Использование кросс-мировой интерпретации предикатов при оценке формулы в семантике CWPL оказывается возможным благодаря тому, что истинностное значение формул релятивизировано к частичным функциям от предметных переменных к возможным мирам. В упомянутой выше статье описаны синтаксис и семантика CWPL; в настоящей статье разработана табличная теория доказательств для CWPL и показана ее слабая корректность и полнота.
Статья посвящена вопросам дуальности логических систем. Паранепротиворечивые и параполные логики принято рассматривать в качестве дуальных. Поскольку в литературе системы, обладающие паранепротиворечивыми и параполными свойствами, встречаются под различными названиями, отдельно исследован вопрос терминологии. Опираясь на известные исследования, феномен дуальности паранепротиворечивых и параполных систем рассмотрен в различных аспектах: с точки зрения дедуктивного аппарата, теории логических матриц, алгебраических структур, а также относительно интуитивной, содержательной интерпретации паралогик.
В компьютерных программах недопустимо игнорировать практически неизбежное наличие ошибок. Как гласит аксиома Шуры-Буры: «Если программа на самом деле абсолютно правильна, она никому не нужна». А в задачах точных вычислений и в суперкомпьютерах возникает необходимость управления вычислениями от исключительных ситуаций. Для описания такого исполнения недостаточно адекватна двузначная и трехзначная логика. Некоторые ошибки, такие как переполнения или деление на ноль, могут быть обработаны и идентифицируются логическим значением u. Но такие, как «синий экран смерти», фатальны: исправлены внутри программы быть не могут. Множество S значений пополняется мягкой ошибкой u и фатальной ошибкой ⊥. Здесь рассматривается следующая семантика: u это сигнал, что однозначное решение не найдено и интерпретируется как {t, f}, а ⊥ — как логический провал ∅. Рассматриваются лишь непрерывные в топологии S⊥ вычисления. Базисом логики принимается условный оператор if A then B else C fi и логические константы {t, f, u, ⊥}. Исследуются логики, соответствующие различным вариантам организации вычислений данного оператора. Полностью описаны взаимные выразимости этих вариантов. Показано, что различные вариации вычислений порождают, в частности, логики Клини, Лукасевича, Гёделя.
В статье предлагается использовать потенциал методов категорной логики для расширения рамок формальной эпистемологии, принимая во внимание, что современная формальная эпистемология представляет собой междисциплинарную исследовательскую программу, которая включает в себя философские, математические, компьютерные, статистические, психологические и экономические аспекты, требующие использования логических, математических и компьютерных методов наряду с корректными стратегиями для рассуждений о знании, убеждениях и суждениях. Использование систем категорной логики вместо систем модальной эпистемической логики позволяет включить в орбиту рассмотрения вопросы не только степеней убежденности суждений (эпистемической или субъективной вероятности), но и степеней убежденности эпистемических выводов и их взаимосвязи. Для оценки этих связей вводится агентность и «байесианская» параметризация эпистемических выводов путем приписывания условной вероятности получения одних эпистемических суждений из других. Для достижения этой цели осуществляется переход от категорий к 2-категориям, в которых объектами уже являются сами выводы. Степени убежденности в двухуровневых дедуктивных 2-категориях можно ввести, параметризуя значениями условной вероятности стрелки второго уровня (2-стрелки, или, в другой терминологии, 2-клетки). В этом случае речь уже идет о степени условной достоверности тех или иных выводов, характеризуя выбор того или иного вывода как достоверного с помощью категорных конструкций на стрелках второго уровня. При этом, связывая условную вероятность с эпистемическими выводами, мы в категорной эпистемологии уменьшаем степень убежденности для случая сложных выводов, увеличивая ее одновременно для случая более простых выводов между одними и теми же формулами.
Статья посвящена рассмотрению одного из возможных расширений систем В. А. Смирнова в контексте проблемы детерминизма. Проблематика детерминизма традиционно тесно связана с различными системами временной логики. Рассуждения о детерминизме можно заметить как в ранних работах Аристотеля, так и в работах Прайора по основаниям логики времени. Особое место во временной логике занимает идея ветвящегося времени. Она выступает как один из стандартных подходов к пониманию детерминизма во временной логике. На текущий момент существует несколько параллельно развивающихся подходов в логике ветвящегося времени, каждый из которых не завершен и обладает определенными логико-философскими недостатками. Это дает нам основание обратиться к некоторым работам Смирнова. В 80-е гг. он предложил альтернативное понимание логики ветвящегося времени, которое позволяет устранить некоторые нежелательные детерминистические следствия при интерпретации овремененных высказываний. Особый интерес представляет понимание Смирновым возможности. Оно позволяет отобразить онтологический статус объектов, который описывает Сеймур Михаэль в реконструкции детерминистического аргумента Диодора Кроноса — если при анализе историй мы сместимся в сторону прошлого, трактовка 3A позволяет утверждать, что нечто возможно, но при этом в будущем не является истинным ни в какой момент времени. В статье подробно рассматриваются изначальные идеи Смирнова во временной логике, а также несколько предложенных им систем — Ks и Kr. Как результат, предлагается возможный вариант расширения систем Смирнова, показывается разрешимость данного расширения, выделяются перспективы дальнейшего изучения темы.
В статье осуществляется презентация и построение отмеченного субординатного натурального исчисления FIntCK для интуиционистской кондициональной логики IntCK, предложенной Г. К. Ольховиковым как интуиционистский вариант минимальной нормальной кондициональной логики Б. Челласа CK и полной относительно интуиционистского прочтения метатеории CK. Система IntCK задает базовые дедуктивные принципы для формализации конструктивных контекстов, допускающих использование двух независимых контрфактических связок — □→ и 3→. Описываемое в статье натуральное исчисление FIntCK основывается на технике, задействующей метки (labels), реляционные атомы (relational atoms) и отмеченные квазиформулы, фигурирующие в правилах, причем данные правила позволяют метасинтаксически реализовать семантические условия истинности и неистинности формул относительно возможных миров интуиционистской кондициональной биреляционной модели. В рамках статьи предлагается индуктивное определение вывода, для чего применяется подход В. А. Смирнова с дальнейшей модификацией понятия субординатной последовательности на случай с отмеченными квазиформулами и реляционными атомами. Дана идея доказательства метатеорем о слабой полноте исчисления FIntCK по отношению к классу всех интуиционистских кондициональных биреляционных шкал, а также дедуктивной эквивалентности натурального исчисления FIntCK и аксиоматического исчисления IntCK.
В статье предложено обобщенное описание свойства паранепротиворечивости, независимое от наличия отрицания в языке рассматриваемой логики. Найдены необходимые и достаточные условия максимальности данного свойства для трехзначных логик с двумя выделенными значениями, операции которых совпадают с операциями классической логики в том же языке, когда область интерпретации ограничена классическими значениями. Эти условия сформулированы в терминах выразительных возможностей операций в трехзначных логических матрицах. Называем пропозициональную логику обобщенно паранепротиворечивой, если некоторое множество формул в этой логике не является инконсистентным, однако оно является таковым с точки зрения классической логики, сформулированной в том же языке. Называем логику максимально обобщенно паранепротиворечивой, если она обобщенно паранепротиворечива, но ни одна ее собственная надлогика не обладает этим свойством. В статье рассматриваются трехзначные логические матрицы с двумя выделенными значениями, операции которых содержатся в клоне функций, сохраняющих классические значения, но не содержатся ни в одном из пяти предполных клонов данного клона, соответствующих предполным клонам решетки клонов Булевых функций. Показано, что логика, характеризуемая матрицей такого рода, является максимально обобщенно паранепротиворечивой, если и только если операции ее матрицы не сохраняют отношения из установленного нами семейства, определенные на универсуме этой матрицы.
Изучаемая здесь система — это логика, язык которой содержит унарную логическую связку, представляющую некоторую циклическую операцию на множестве истинностных значений и симулирующую своей двойной итерацией дедуктивные свойства отрицания классической логики высказываний. Эта унарная связка называется оператором Руета. Целью статьи является доказательство интерполяционной теоремы Крейга для логики с оператором Руета. Приводится определение логики с оператором Руета, ее адекватная секвенциальная аксиоматизация, строится новое секвенциальное исчисление в языке, обогащенном логическими константами, и доказывается интерполяционная теорема Крейга.
- 1
- 2