Статья: Интерполяционная теорема Крейга для логики с оператором Руета∗ (2026)

Статья посвящена рассмотрению одного из возможных расширений систем В. А. Смирнова в контексте проблемы детерминизма. Проблематика детерминизма традиционно тесно связана с различными системами временной логики. Рассуждения о детерминизме можно заметить как в ранних работах Аристотеля, так и в работах Прайора по основаниям логики времени. Особое место во временной логике занимает идея ветвящегося времени. Она выступает как один из стандартных подходов к пониманию детерминизма во временной логике. На текущий момент существует несколько параллельно развивающихся подходов в логике ветвящегося времени, каждый из которых не завершен и обладает определенными логико-философскими недостатками. Это дает нам основание обратиться к некоторым работам Смирнова. В 80-е гг. он предложил альтернативное понимание логики ветвящегося времени, которое позволяет устранить некоторые нежелательные детерминистические следствия при интерпретации овремененных высказываний. Особый интерес представляет понимание Смирновым возможности. Оно позволяет отобразить онтологический статус объектов, который описывает Сеймур Михаэль в реконструкции детерминистического аргумента Диодора Кроноса — если при анализе историй мы сместимся в сторону прошлого, трактовка 3A позволяет утверждать, что нечто возможно, но при этом в будущем не является истинным ни в какой момент времени. В статье подробно рассматриваются изначальные идеи Смирнова во временной логике, а также несколько предложенных им систем — Ks и Kr. Как результат, предлагается возможный вариант расширения систем Смирнова, показывается разрешимость данного расширения, выделяются перспективы дальнейшего изучения темы.

В статье осуществляется презентация и построение отмеченного субординатного натурального исчисления FIntCK для интуиционистской кондициональной логики IntCK, предложенной Г. К. Ольховиковым как интуиционистский вариант минимальной нормальной кондициональной логики Б. Челласа CK и полной относительно интуиционистского прочтения метатеории CK. Система IntCK задает базовые дедуктивные принципы для формализации конструктивных контекстов, допускающих использование двух независимых контрфактических связок — □→ и 3→. Описываемое в статье натуральное исчисление FIntCK основывается на технике, задействующей метки (labels), реляционные атомы (relational atoms) и отмеченные квазиформулы, фигурирующие в правилах, причем данные правила позволяют метасинтаксически реализовать семантические условия истинности и неистинности формул относительно возможных миров интуиционистской кондициональной биреляционной модели. В рамках статьи предлагается индуктивное определение вывода, для чего применяется подход В. А. Смирнова с дальнейшей модификацией понятия субординатной последовательности на случай с отмеченными квазиформулами и реляционными атомами. Дана идея доказательства метатеорем о слабой полноте исчисления FIntCK по отношению к классу всех интуиционистских кондициональных биреляционных шкал, а также дедуктивной эквивалентности натурального исчисления FIntCK и аксиоматического исчисления IntCK.

В статье предложено обобщенное описание свойства паранепротиворечивости, независимое от наличия отрицания в языке рассматриваемой логики. Найдены необходимые и достаточные условия максимальности данного свойства для трехзначных логик с двумя выделенными значениями, операции которых совпадают с операциями классической логики в том же языке, когда область интерпретации ограничена классическими значениями. Эти условия сформулированы в терминах выразительных возможностей операций в трехзначных логических матрицах. Называем пропозициональную логику обобщенно паранепротиворечивой, если некоторое множество формул в этой логике не является инконсистентным, однако оно является таковым с точки зрения классической логики, сформулированной в том же языке. Называем логику максимально обобщенно паранепротиворечивой, если она обобщенно паранепротиворечива, но ни одна ее собственная надлогика не обладает этим свойством. В статье рассматриваются трехзначные логические матрицы с двумя выделенными значениями, операции которых содержатся в клоне функций, сохраняющих классические значения, но не содержатся ни в одном из пяти предполных клонов данного клона, соответствующих предполным клонам решетки клонов Булевых функций. Показано, что логика, характеризуемая матрицей такого рода, является максимально обобщенно паранепротиворечивой, если и только если операции ее матрицы не сохраняют отношения из установленного нами семейства, определенные на универсуме этой матрицы.

В статье исследуется вопрос о полноте множества силлогистических констант. Эти константы понимаются как знаки отношений между двумя непустыми множествами (объемами двух общих терминов). Среди указанных отношений особое место занимают «эйлеровские»: (1) равенство множеств, (2) строгое включение первого множества во второе, (3) строгое включение второго множества в первое, (4) перекрещивание множеств, (5) несовместимость множеств. Остальные отношения представляют из себя комбинации эйлеровских. Каждая константа k в предлагаемом силлогистическом языке кодируется последовательностью (возможно пустой) попарно различных чисел из множества {1, 2, 3, 4, 5}, расположенных по возрастанию. Эта последовательность указывает на номера тех эйлеровских отношений, при которых простое высказывание формы SkP истинно. Ранее была задана точная теоретико-множественная семантика «универсального» языка, содержащего все силлогистические константы. Вводятся понятия выразимости силлогистической константы в «локальном» языке силлогистики, содержащем лишь некоторые из таких констант. Множество исходных констант «локального» языка реляционно полно, если и только если в нем выразима любая силлогистическая константа «универсального» языка. Формулируются критерии реляционной полноты. Доказывается метатеорема о том, что множество силлогистических констант реляционно полно, если и только если его элементами являются: константа, содержащая ровно одно из двух чисел — либо 2, либо 3; константа, содержащая ровно одно из двух чисел — либо 1, либо 4; константа, содержащая ровно одно из двух чисел — либо 1, либо 5; константа, содержащая ровно одно из двух чисел — либо 4, либо 5.

Общее определение алгоритма содержит информацию о действиях и очередности их выполнения для достижения конкретных целей, которые могут быть представлены некоторым описанием. В семантике динамической логики упор делается на действия, которые необходимо совершить в определенной последовательности, а преследуемая цель остается за рамками анализа, ей отводится роль метаинформации по отношению к самому алгоритму. С другой стороны, одну и ту же цель можно достичь разными способами. Если для действующего агента в первую очередь важна цель, ради которой составляется и выполняется алгоритм, то его конкретная реализация не столь уж и важна, так как инвариантом всех конкретных реализаций является именно преследуемая цель. В статье показано, каким образом возможно построение семантики динамической логики в терминах целей, а не выполняемых действий. Целеориентированная семантика применима не только для анализа алгоритмов, выполняемых в мире абстрактных математических объектов, но и в физическом мире, в котором понятие алгоритма синонимично понятию целенаправленного поведения. Поскольку понятие цели относится к еще не реализованному будущему положению дел и потому осмысленно лишь в рамках принимаемой модели времени, семантика целеориентированной логики строится с опорой на семантику оккамистской временной логики древовидно ветвящегося времени. При этом агент, выполняющий алгоритм, также должен обладать некоторой свободой в выборе совершаемых им действий. Если в стандартной семантике динамической логики элементарные действия интерпретируются посредством ничем не опосредованных переходов между возможными мирами, то в целеориентированной семантике действия интерпретируются сегментами путей возможного развития событий, в конечной точке которых цель, ради достижения которой выполняется действие, истинна, а во все предшествующие моменты ложна. В терминах предлагаемой семантики можно, с некоторыми вариациями, определить все стандартные операторы динамической логики и плюс к ним еще один специальный оператор обращения к процессам, протекающим во внешнем физическом мире.

Статья посвящена исследованию структурных параллелей между нормативными стандартами в логике и теории игр. С одной стороны, стандартная точка зрения утверждает, что и логика, и теория игр являются нормативными дисциплинами. С другой стороны, их нормативный статус является предметом дискуссий. Демонстрируется, что внутри логики и теории игр возникают параллельные исследовательские программы, связанные с различными стратегиями ответа на вопрос об их нормативном статусе. Во-первых, и в логике, и в теории игр сложился «парадоксальный консенсус» относительно стандартного варианта нормы — законов классической логики высказываний (в случае логики) и равновесия Нэша (в случае теории игр). Консенсус является парадоксальным, поскольку одновременно с признанием наличия стандартного варианта нормы признаются и его недостатки: затруднения законов классической логики высказываний и затруднения равновесия Нэша. В ответ на решение этих затруднений сформировались программы альтернативных логик и очищения равновесия. Во-вторых, конфликт с данными смежных эмпирических дисциплин (психологии рассуждений и поведенческой экономики) привел к появлению программы поиска компромиссного варианта нормы — логических моделей рассуждений и поведенческой теории игр. В-третьих, и в логике, и в теории игр сложилась программа «смены перспективы», которая отличается как от стратегии усиления нормы, так и от ее ослабления, она требует расширения контекста для определения нормы. Программами смены перспективы следует считать программы логической динамики и эпистемическую теорию игр. Также демонстрируется, что программа «смены перспективы», позволяет сделать вывод о тенденции сближения логики и теории игр в рамках общей теории рациональной агентности. Более того, программа поиска компромиссного варианта нормы также может считаться разделом общей теории рациональной агентности, моделирующей в том числе и взаимодействие агентов с ресурсными ограничениями разного типа.

Абстрактные логики развиваются в рамках структуралистского подхода к предмету и дисциплинарным границам логики. Вместе с тем в алгебраической, теоретико-доказательственной и теоретико-модельных традициях возможны различные истолкования абстрактных логик. Ограничиваясь теоретико-модельной традицией, данная статья предлагает наряду со стандартной интерпретацией абстрактных логик как структур трактовку их как классификаций абстрактных структур (типов изоморфизма). Свойство инвариантности относительно изоморфизма понимается не как традиционный критерий демаркации логических и нелогических терминов, вызывающий обоснованную критику в современной философии логики, а как мета-ограничение на соответствующие классы структур. В силу этого мета-ограничения структуры, принадлежащие к одному типу изоморфизма, полагаются неразличимыми средствами абстрактной теории моделей. Выявляется вариативность мета-ограничений на классы структур в ранней и современной теории моделей. Сопоставляются онтологические подходы, предполагающие трактовку абстрактной структуры как формы, разделяемой всеми структурами в данном типе изоморфизма, либо как типа изоморфизма, который может быть представлен любой произвольной структурой этого типа. Демонстрируется роль понятий дефинитного многообразия Эдмунда Гуссерля и модельной структуры Рудольфа Карнапа в становлении метатеоретического аппарата теории моделей. Приводятся аргументы в пользу трактовки дефинитных многообразий как типов изоморфизма, а также ограничивающие ее контраргументы. Рассматривается металогическая трихотомия мономорфности, дедуктивной полноты и неразветвляемости в ранней теории моделей. Намечаются перспективы обобщения предложенной интерпретации абстрактных логик как классификаций абстрактных структур, обусловленные многообразием критериев сходства структур в современной теории моделей.