Статья: Размышления о суб-Тьюринговой интерактивной вычислимости (2026)

В статье кратко освещается работа XVI Всероссийской научной конференции «Современная логика: проблемы и перспективы», которая проходила 27–29 июня 2024 г. в Институте философии Санкт-Петербургского государственного университета, даются аннотации сделанных докладов, описываются другие события в рамках этого научного мероприятия.

Статья посвящена переписке выдающегося бразильского логика и философа Ньютона да Косты (16.09.1929 Куритиба, Бразилия – 16.04.2024, Флорианаполис, Бразилия), который внес значительный вклад в создание и развитие паранепротиворечивой логики, с В. А. Бажановым, а также отношениям да Косты с советскими/российскими логиками и философами. Публикуемые письма Ньютона да Косты автору данной статьи были частью регулярной переписки, которая продолжалась с 1986 по 2021 г. Они раскрывают его взгляды на развитие логики в России, а также обстоятельства его контактов с советскими и российскими логиками. В своих письмах да Коста отдает должное заслугам Н. А. Васильева, который в своей «воображаемой логике» первым предложил создать логику, свободную от законов (не)противоречия и исключенного третьего, и поэтому считается фактическим предтечей современной неклассической логики в целом и паранепротиворечивой логики в частности. Да Коста выражал глубокое уважение к российской культуре и науке, подчеркивал необходимость тесного сотрудничества между учеными разных стран, делился своими впечатлениями от посещения (вместе с дочерью) конгресса по логике, методологии и философии науки в Москве летом 1987 г.

В статье исследуется специфика аргументативного следования. В числе важных его характеристик выделяются требование истинности аргументов (или, по крайней мере, их непротиворечивости) и модифицируемость, предполагающая потенциальную опровержимость аргументативных рассуждений в свете критики и/или новой информации. На основании этих соображений предлагается семантическая трактовка аргументативного следования как некоторого ограничения классического: к стандартному определению следования добавляется условие, обеспечивающее непротиворечивость исходных аргументов — наличие приписывания значений переменным, при котором множество формул, составляющих посылки аргументативного рассуждения, совместимо по истинности. Это неформально обосновываемое условие приводит к модифицируемости следования. Добавление к исходному множеству посылок произвольной информации (возможно, противоречивой или противоречащей принятым ранее посылкам) становится недопустимым. Далее в статье строится исчисление выводимостей, формализующее введенное понятие аргументативного следования, и доказывается его семантическая адекватность. Построенная логика служит основой для релевантизированного варианта формализации аргументативного следования, к определению которого добавляется условие не-тавтологичности заключения.

В одной из недавних статей я представил логику для кросс-мировой предикации (CWPL, crossworld predication logic). Кросс-мировая предикация — это атрибуция отношений объектам, каждый из которых ассоциирован с некоторым возможным миром. (Интуитивно, объект, ассоциированный с возможным миром — это объект, каков он в этом мире). CWPL — это модальная логика первого порядка с равенством и λ-оператором. Ее преимущество перед другими известными мне логиками для кросс-мировой предикации (в частности, перед логиками, разработанными Баттерфилдом и Стерлингом, Вемайером и Коцуреком) состоит в том, что она базируется на стандартном языке модальной логики первого порядка. В семантическом плане CWPL основана на кросс-мировой интерпретации предикатов, при которой n-местный предикат получает экстенсионал для каждой упорядоченной n-ки возможных миров, а не для каждого отдельного возможного мира. Использование кросс-мировой интерпретации предикатов при оценке формулы в семантике CWPL оказывается возможным благодаря тому, что истинностное значение формул релятивизировано к частичным функциям от предметных переменных к возможным мирам. В упомянутой выше статье описаны синтаксис и семантика CWPL; в настоящей статье разработана табличная теория доказательств для CWPL и показана ее слабая корректность и полнота.

Статья посвящена вопросам дуальности логических систем. Паранепротиворечивые и параполные логики принято рассматривать в качестве дуальных. Поскольку в литературе системы, обладающие паранепротиворечивыми и параполными свойствами, встречаются под различными названиями, отдельно исследован вопрос терминологии. Опираясь на известные исследования, феномен дуальности паранепротиворечивых и параполных систем рассмотрен в различных аспектах: с точки зрения дедуктивного аппарата, теории логических матриц, алгебраических структур, а также относительно интуитивной, содержательной интерпретации паралогик.

В компьютерных программах недопустимо игнорировать практически неизбежное наличие ошибок. Как гласит аксиома Шуры-Буры: «Если программа на самом деле абсолютно правильна, она никому не нужна». А в задачах точных вычислений и в суперкомпьютерах возникает необходимость управления вычислениями от исключительных ситуаций. Для описания такого исполнения недостаточно адекватна двузначная и трехзначная логика. Некоторые ошибки, такие как переполнения или деление на ноль, могут быть обработаны и идентифицируются логическим значением u. Но такие, как «синий экран смерти», фатальны: исправлены внутри программы быть не могут. Множество S значений пополняется мягкой ошибкой u и фатальной ошибкой ⊥. Здесь рассматривается следующая семантика: u это сигнал, что однозначное решение не найдено и интерпретируется как {t, f}, а ⊥ — как логический провал ∅. Рассматриваются лишь непрерывные в топологии S⊥ вычисления. Базисом логики принимается условный оператор if A then B else C fi и логические константы {t, f, u, ⊥}. Исследуются логики, соответствующие различным вариантам организации вычислений данного оператора. Полностью описаны взаимные выразимости этих вариантов. Показано, что различные вариации вычислений порождают, в частности, логики Клини, Лукасевича, Гёделя.

В статье предлагается использовать потенциал методов категорной логики для расширения рамок формальной эпистемологии, принимая во внимание, что современная формальная эпистемология представляет собой междисциплинарную исследовательскую программу, которая включает в себя философские, математические, компьютерные, статистические, психологические и экономические аспекты, требующие использования логических, математических и компьютерных методов наряду с корректными стратегиями для рассуждений о знании, убеждениях и суждениях. Использование систем категорной логики вместо систем модальной эпистемической логики позволяет включить в орбиту рассмотрения вопросы не только степеней убежденности суждений (эпистемической или субъективной вероятности), но и степеней убежденности эпистемических выводов и их взаимосвязи. Для оценки этих связей вводится агентность и «байесианская» параметризация эпистемических выводов путем приписывания условной вероятности получения одних эпистемических суждений из других. Для достижения этой цели осуществляется переход от категорий к 2-категориям, в которых объектами уже являются сами выводы. Степени убежденности в двухуровневых дедуктивных 2-категориях можно ввести, параметризуя значениями условной вероятности стрелки второго уровня (2-стрелки, или, в другой терминологии, 2-клетки). В этом случае речь уже идет о степени условной достоверности тех или иных выводов, характеризуя выбор того или иного вывода как достоверного с помощью категорных конструкций на стрелках второго уровня. При этом, связывая условную вероятность с эпистемическими выводами, мы в категорной эпистемологии уменьшаем степень убежденности для случая сложных выводов, увеличивая ее одновременно для случая более простых выводов между одними и теми же формулами.