Статья: ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННОЙ СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С СИНГУЛЯРНЫМИ ЯДРАМИ В ВИДЕ ОБОБЩЕННОГО СТЕПЕННОГО РЯДА ПО ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ (2025)

Осуществлен поиск условий на линейный замкнутый оператор, необходимых и достаточных для существования сильно непрерывного разрешающего семейства для уравнения, разрешенного относительно дробной производной Римана  Лиувилля, с соответствующим оператором при искомой функции.

Рассмотрена обратная начально-краевая задача на ограниченном интервале для систем квазилинейных эволюционных уравнений нечетного порядка. В качестве управлений выбраны правые части уравнений специального вида, а в качестве переопределений – интегральные условия. Установлены результаты о существовании и единственности решения при малых входных данных.

Решена задача построения регрессионной модели в виде степенной двухфакторной формы и корреляционной модели кадрового обеспечения эффективности работы в виде передаточных функций. Входными показателями для моделей выбирается количество работников и отношение среднемесячной заработной платы в ПАО НК ¾Роснефть¿ к средней заработной плате в России, а выходным параметром эффективности работы рассматривается объем добычи нефти и газового конденсата.

Исследуются разрешенные относительно производной m-го порядка эволюционные линейные уравнения на прямой без начальных условий. Введен класс бисекториальных операторов. Для уравнения с бисекториальным оператором доказано существование единственного решения.

Рассматриваются такие нелинейные явления в физике конденсированного состояния, как дискретные бризеры и делокализованные нелинейные колебательные моды. Произведено описание свойств делокализованных нелинейных колебательных мод и дискретных бризеров, анализ взаимосвязи между ними и их влияния на макроскопические свойства модельных нелинейных решеток и кристаллов с использованием методов компьютерного моделирования. Также исследовано проявление модуляционной неустойчивости делокализованных нелинейных колебательных мод, приводящее к возбуждению хаотических дискретных бризеров

На простейшем одномерном примере анализируется переход от кинетической модели холодной плазмы (Ландау, Иорданский) к гидродинамической модели. В процессе перехода сужается класс начальных данных Коши, соответствующих глобально гладкому решению. Построены моментные цепочки, удовлетворяющие однотипным уравнениям первого порядка, и предложено объяснение того, почему их обрезание на каждом следующем шаге расширяет класс начальных данных, соответствующих гладкому решению.

Рассматривается вопрос о регулярной разрешимости в пространствах Соболева обратных параболических задач. Неизвестными являются коэффициенты оператора и правая часть в уравнении, представимые в виде конечных отрезков ряда по некоторому базису с неизвестными коэффициентами, зависящими от времени.

Рассматривается вопрос о регулярной разрешимости в пространствах Соболева параболических обратных коэффициентных задач в слоистых средах с условиями сопряжения типа неидеального контакта. Решение имеет все входящие в уравнение обобщенные производные, суммируемые с некоторой степенью. Доказательство основано на получаемых априорных оценках и теореме о неподвижной точке.

Рассматриваются сингулярные интегральные операторы задач Жевре для параболических уравнений высокого порядка с весовыми условиями сопряжения (склеивания). В отличие от классического случая эти операторы помимо сингулярного оператора Коши содержат также некомпактные интегральные операторы специального вида, которые определяются ядром, приближенно однородным степени −1 относительно расстояний до концов отрезка. Получены критерии фредгольмовости этих операторов и приводятся формулы их индексов. Приведены примеры сингулярных интегральных уравнений, возникающих при исследовании краевых задач для уравнений с меняющимся направлением времени.

В настоящей работе изучаются интегро-дифференциальные уравнения с интегральными условиями на боковой границе, доказываются теоремы существования регулярных решений. Для установления разрешимости используются методы регуляризации и продолжения по параметру.

Рассматриваются вопросы корректности в пространствах Соболева обратных параболических задач об определении точечных источников. Неизвестными являются решение уравнения и его правая часть, представимая в виде суммы произведений функций, зависящих от времени, и дельта-функций Дирака

Для эволюционного уравнения с производной Капуто – Фабрицио в банаховом пространстве исследуется разрешимость линейных обратных коэффициентных задач. Для линейной обратной задачи с неизвестными коэффициентами, зависящими от времени, получены условия однозначной разрешимости, а также исследована корректность этой обратной задачи

Рассмотрен метод построения явных решений задач Дарбу для уравнений Бианки, являющийся обобщением метода Римана  Адамара для гиперболического уравнения второго порядка. Дано определение функции Римана  Адамара для уравнения Бианки в общем случае. Существование и единственность решения задач Дарбу для уравнений Бианки доказывается путем редукции к интегральному уравнению Вольтерра с частными интегралами.

Исследуется класс нелинейных задач идентификации для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, разрешенных относительно старшей дробной производной Джрбашяна  Нерсесяна. Методом сжимающих отображений доказаны существование и единственность локального решения задачи идентификации.

Для одной системы n гиперболических уравнений со слабосингулярными характеристиками на плоскости методом Римана построено решение задачи Гурса. Доказаны существование и единственность полученного решения. Матрица Римана получена в виде гипергеометрической функции матричных аргументов. Исследованы свойства этой функции.

Рассмотрено интегро-дифференциальное уравнение, задающее плотность некоторого случайного процесса, применяемого в биологических задачах. Для поиска фундаментального решения этого уравнения использовано преобразование Лапласа. Найдена в явном виде формула фундаментального решения для случая, когда ядро интегрального слагаемого является суммой плотностей экспоненциальных распределений с различными параметрами. Полученная формула позволяет находить решения для многих начальных данных.

Данная работа посвящена построению функции Грина классических задач Дирихле, Неймана и Робена для уравнения Пуассона в многомерном шаре, конструктивному способу построения функции Грина задачи Дирихле для полигармонического (бигармонического) уравнения в многомерном шаре и описанию корректных краевых задач для полигармонических операторов.

Предложена модель формирования линейных коротких капиллярных волн на поверхности жидкость-газ под действием кавитации, создаваемой ультразвуковыми колебаниями. Уравнения распространения капиллярных волн были построены в виде классических и обобщенных функций (с медленным ростом), которые учитывают: вязкость жидкой фазы; затухание волновых колебаний с течением времени из-за вязкости жидкой фазы, что подразумевает ограниченную амплитуду волн (несмотря на то, что тот факт, что при отсутствии затухания волна может колебаться бесконечно долго с течением времени). Было доказано, что для уравнений в обобщенных функциях для случая схлопывания множества пузырьков в ограниченном объеме жидкости профиль смещения (как обобщенная функция, являющаяся интегральной в смысле главного значения Коши) поверхности раздела является регулярной обобщенной функцией медленного роста. Получены расчетные зависимости среднего увеличения межфазной поверхности от параметров ультразвукового воздействия и построены зависимости вязкости жидкости. Зависимости показали увеличение межфазной поверхности в 1,6 раза и более для жидкости с вязкостью, близкой к водной. Полученное значение аналогично экспериментальным данным. Установлено существование предельной вязкости, начиная с которой эффект перестает быть заметным. Это указывает на необходимость проведения исследований при различных температурах окружающей среды. Поскольку, с одной стороны, с повышением температуры вязкость жидкой фазы снижается, а с другой стороны, уменьшается степень развития кавитации. По-видимому, в этом отношении может существовать оптимальная температура.

В этой короткой заметке мы представили новые точные результаты, касающиеся действия так называемых интегральных операторов Теплица в голоморфных функциональных пространствах Лизоркина-Трибеля в единичном полидиске. Голоморфные функциональные пространства типа Лизоркина-Трибеля в единичном полидиске одновременно расширяют хорошо известные пространства Бергмана и Харди. Поэтому интересно изучать эти новые пространства в более высокой размерности. Наши результаты могут иметь различные интересные приложения в теории комплексных функций. Как для одной, так и для нескольких комплексных переменных. В частности, наши доказательства основаны на нескольких стандартных оценках комплексных теория функций нескольких комплексных переменных. Отметим также, что операторы Теплица ранее изучались в основном только в одном измерении, а именно в случае единичного диска. Наши результаты могут также найти интересное применение в теории операторов

Вес w (e) ребра e в 3-многограннике равен сумме степеней его конечных вершин. Ребро e = uv является (i, j)-ребром, если d (u) i и d (v) j. В 1940 году Лебег доказал, что каждый 3-многогранник имеет (3, 11)-ребро, или (4, 7)-ребро, или (5, 6) -ребро, где 7 и 6 являются наилучшими из возможных. В 1955 году Котциг доказал, что каждый 3-многогранник имеет ребро e с w (e) 13, граница которого является острой. Бородин (1987), отвечая на вопрос Эрдоса от 1976 года, доказал, что каждый плоский граф без вершин степени менее 3 имеет такое ребро. Более того, Бородин (1991) уточнил это, доказав, что существует либо (3, 10)-ребро, либо (4, 7)-ребро, либо (5, 6)-ребро. Учитывая 3-гранный многогранник, минимальный вес всех его ребер обозначается w, из тех, которые имеют только одну 3-гранную грань и называются полуслабыми, равен w, а из тех, которые имеют две 3-гранные грани и называются слабыми, равен w. Бородин (1996) доказал, что если w = 1, то есть слабых границ нет, то либо w9, либо w8, где обе границы четкие. Недавно мы уточнили этот факт, доказав, что w = 1 подразумевает либо полуслабую (3, 6)-ребро, или полуслабое (4, 4)-ребро, или же сильное (3, 5)-ребро, описание которого является жестким. (Обратите внимание, что если (3, 5)-ребра допустимы, то 3-граней и, следовательно, полуслабых ребер может вообще не быть.) Цель нашей заметки - дополнительно уточнить эти результаты, доказав, что на самом деле w = 1 подразумевает либо полуслабое (3, 6) ребро, либо полуслабое (4, 4) ребро, либо сильное (3, 5) ребро, встречающееся с 4-гранью, либо сильное (3, 3) ребро, встречающееся с 5-грань, где ни один параметр не может быть улучшен.

Исследуется начально-краевая задача для дифференциального уравнения смешанного типа третьего порядка. Рассматриваются вопросы корректности постановки задачи, анализируется существование и единственность решений. Доказываются теоремы об условной устойчивости решения в зависимости от множества корректности. Для получения приближенных решений применяется метод регуляризации, основанный на априорных оценках. Использование спектрального анализа позволяет получить численные решения и оценить их устойчивость. Результаты могут быть полезны для дальнейших исследований в области математической физики и вычислительной математики.

Исследована разрешимость естественных начально-краевых задач для линейных гиперболических уравнений второго порядка при наличии инволютивного отклонения аргумента в старших членах. Получены достаточные условия существования и единственности регулярных решений  решений, имеющих все обобщенные по С. Л. Соболеву производные, входящие в уравнения.

Исследуется проблема однозначной разрешимости нелокальной задачи, связанной с дробными производными, в контексте краевых условий для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа. Важной особенностью рассматриваемого уравнения является то, что его порядок вырождается вдоль линии изменения типа. На эллиптической части границы области устанавливается условие Дирихле, на характеристической части границы области задается условие, которое поточечно связывает дробные производные Римана  Лиувилля с значениями решения на характеристиках. Порядок производной зависит от порядка вырождения уравнения, а также от значений решения и его производной на линии вырождения, расположенной внутри области. Для доказательства единственности решения данной задачи применяется принцип экстремума. Вопрос о существовании решения сводится к исследованию разрешимости сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши. В работе также представлено условие, которое гарантирует существование регуляризатора, позволяющего преобразовать сингулярное уравнение в уравнение Фредгольма второго рода. Учитывая возможность приведения задачи к эквивалентному интегральному уравнению Фредгольма второго рода, а также доказанную единственность искомого решения, можно сделать вывод о существовании решения задачи в необходимом классе функций.