Статья: РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА СТРОГО ПСЕВДОГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА (2026)

Мы анализируем состояние равновесия трехмерного упругого тела с тонким двумерным включением. На первом этапе мы предполагаем, что включение отслоилось от окружающего упругого тела, что приводит к образованию межфазной трещины. Чтобы описать взаимное непроникновение граней трещины, мы накладываем граничные условия типа неравенства на гранях трещины. Дополнительные трудности возникают в связи с условиями типа Неймана, рассматриваемыми на внешней границе упругого тела. Мы анализируем переход к пределу при условии, что параметр жесткости включения стремится к бесконечности. Проанализирована предельная модель, описывающая равновесное состояние упругого тела с тонким жестким включением. Представлены различные эквивалентные формулировки предельной задачи.

Для уравнения в частных производных первого порядка с дробной производной Римана  Лиувилля по одной из двух независимых переменных исследуется нелокальная краевая задача в области с криволинейной границей. Нелокальное условие задано в виде интеграла от искомого решения. Доказана теорема о существовании, единственности и представлении решения исследуемой задачи.

Исследуется разрешимость начально-краевой задачи для линейных интегро-дифференциальных псевдогиперболических уравнений с заданием на боковой границе условия, связывающего значения решения или конормальной производной решения со значениями некоторого интегрального оператора от решения. Доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений. Начало систематических исследований нелокальных краевых задач  задач нахождения периодических решений для эллиптических уравнений  было положено в статье А. В. Бицадзе и А. А. Самарского (1969). Отметим также исследования для интегродифференциальных псевдопараболических уравнений третьего порядка с интегральным условием на боковой границе (2024). Большой вклад в развитие теории нелокальных задач для дифференциальных уравнений различных классов внесли монографии А. Л. Скубачевского (1997), А. М. Нахушева (2006, 2012) и А. И. Кожанова (2024).

Целью работы является исследование разрешимости нелокальных задач с обобщенным граничным условием Самарского  Ионкина для специального класса уравнений соболевского типа  именно, для уравнений, называемых псевдопараболическими уравнениями. Для изучаемых задач доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений  решений, имеющих все обобщенные по С. Л. Соболеву производные, входящие в соответствующее уравнение. Описываются также некоторые усиления и обобщения полученных результатов.

Рассматривается вопрос об обобщенной разрешимости аналога первой начально-краевой задачи для квазигидродинамической системы уравнений в приближении Обербека  Буссинеска в случае слабосжимаемой жидкости. Система состоит из эллиптического уравнения для давления, параболической системы для вектора скорости жидкости и параболического уравнения для температуры. Стационарная часть системы не является равномерно эллиптической, что усложняет получение априорных оценок и доказательство существования решения. Основной результат работы  теорема существования обобщенных решений. Доказательство основано на методе Гал¨еркина с выбором специального базиса и полученных априорных оценках.

Изучаются спектральные свойства одного класса эллиптических дифференциальных операторов высшего порядка в ограниченной области, коэффициенты которых имеют несогласованное степенное вырождение вдоль всей границы области. Полуторалинейная форма, связанная с исследуемым оператором, может не удовлетворять условию коэрцитивности. Она представляется в виде конечной суммы вспомогательных форм, и среди них выделяются старшие формы. Применением теорем вложения для пространств дифференцируемых функций многих вещественных переменных со степенными весами доказывается, что только вырождения коэффициентов старших форм влияют на область определения рассматриваемого эллиптического оператора. Установлена полнота и суммируемость в смысле Абеля  Лидского системы корневых функций исследуемого оператора.

Рассматриваются вопросы существования и единственности классического решения задачи типаШоуолтера  Сидорова для некоторых классов квазилинейных уравнений в банаховых пространствах с дробными производными Римана  Лиувилля. Исследованы уравнения с вырожденным оператором при старшей производной Римана  Лиувилля в случае секториальности пары операторов из линейной части уравнения, т. е. когда этой парой порождается аналитическое в секторе вырожденное разрешающее семейство операторов, и в предположении, что нелинейный оператор не зависит от элементов подпространства вырождения. Доказаны теоремы о локальной и глобальной однозначной разрешимости задачи типа Шоуолтера  Сидорова для исследуемого уравнения. Полученные абстрактные результаты использованы при исследовании начально-краевых задач для одного класса систем дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка по времени.