Статья: УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ ДЛЯ МОДЕЛИ СЛОЖНОГО ТЕПЛООБМЕНА С НЕИЗВЕСТНОЙ ЧЕРНОТОЙ ГРАНИЦЫ (2026)

Для краевой задачи градиентной теории упругости в случае антиплоского сдвига исследуются инвариантные интегралы, не зависящие от контура интегрирования. С использованием метода дифференцирования функционалов энергии по форме области получены формулы для производной энергии при возмущении области. Найдены условия на поле возмущений, обеспечивающие представление производной в виде криволинейного интеграла по произвольному контуру, охватывающему трещину. Построены инвариантные интегралы, соответствующие повороту трещины, ее сдвигу и квазистатическому росту. Для прямолинейной трещины получен аналог интеграла Черепанова  Райса, значение которого определяет скорость высвобождения энергии при подрастании трещины.

Целью статьи является введение в концепцию возможной реализации построения моделей механики сплошной среды из кинетической теории.

Основное уравнение динамики разреженного газа  уравнение Больцмана  является интегродифференциальным уравнением, чрезвычайно сложным, когда его фактическое разрешение необходимо. Хорошо известно, особенно при численных экспериментах, рассогласование правой и левой частей кинетического уравнения Больцмана. Несовершенство кинетического уравнения Больцмана привело к необходимости построения так называемых дискретных кинетических уравнений. Было предложено несколько упрощенных моделей, среди которых дискретные кинетические уравнения с конечным числом групповых скоростей. Эти модели имеют интересные концептуальные и математические особенности. Инвариантные решения в дискретной кинетике  это состояния или соотношения, сохраняющиеся во времени при эволюции системы, описываемой дискретными кинетическими уравнениями. Их роль фундаментальна как в теоретическом анализе, так и в приложениях.

Инварианты отражают фундаментальные законы сохранения: числа частиц (массовый баланс); импульса; энергии; заряда и др. В дискретных моделях это гарантирует, что численная схема не ¾генерирует¿ и не ¾уничтожает¿ физические величины искусственно. Рассмотрена проблема замыкания моментных цепочек, построенных по инвариантным решениям. Исследована проблема стабилизации периодических возмущений положения равновесия для одномерной 6-скоростной модели. Установлена экспоненциально быстрая стабилизация периодических возмущений положения равновесия к бегущей волне (при общих периодических начальных возмущениях).

Исследуется задача Стефана. Условия на входные данные являются пограничными, при которых решение слабое (в постановке нет уравнения границы) и при которых  классическое (фазы разделены искомой границей). Установлена сильная глобальная по времени разрешимость как в случае начальной температуры, близкой к температуре фазового перехода, так и без этого условия.

Получено функциональное тождество, связывающее решение задачи Коши для линейного уравнения в банаховом пространстве, разрешенного относительно дробной производной Римана  Лиувилля, с элементами ядра оператора, сопряженного к оператору из уравнения. С помощью этого тождества получены теоремы о разрешимости обратной задачи восстановления порядка дробной производной в уравнении. Абстрактные результаты использованы при рассмотрении задач для уравнений в частных производных.

Изучается разрешимость краевых задач для параболических уравнений с произвольно меняющимся направлением эволюции. Особенностью изучаемых уравнений является то, что один из коэффициентов уравнения не только меняет знак, но и является разрывным (имеет разрыв первого рода). В зависимости от коэффициентов уравнения в работе предлагаются постановки краевых задач и доказывается их корректность, т. е. доказывается, что предлагаемые краевые задачи имеют единственные решения, обладающие всеми обобщенными по С. Л. Соболеву производными, входящими в уравнение.

Рассматривается класс систем нелинейных интегродифференциальных уравнений. Исследуется экспоненциальная устойчивость нулевого решения. Установлены условия устойчивости, получены оценки множеств притяжения и оценки, характеризующие скорости убывания решений на бесконечности. При проведении исследований используется функционал Ляпунова  Красовского специального вида.

Рассматривается нелокальная вторая краевая задача для уравнения смешанного типа в цилиндрической области, которая сводится к разрешимости локальной краевой задачи для интегродифференциального уравнения смешанного типа в весовом пространстве Соболева. Разрешимость последней краевой задачи устанавливается с помощью метода последовательных приближений. При некоторых условиях на коэффициенты уравнения доказана теорема об однозначной регулярной разрешимости нелокальной второй краевой задачи в весовом пространстве Соболева, когда коэффициент при второй производной по времени может менять знак на верхнем основании цилиндрической области и отрицательный на нижнем основании.