Статья: ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С СИНГУЛЯРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (2026)

В статье представлен анализ безреверсных мехатронных манипуляторов (БММ) - нового класса механизмов с высоким быстродействием и сложными циклоидальными траекториями рабочих органов. Рассмотрены компоновочные структуры (планетарные, шарнирно-рычажные, зубчато-рычажные), методы кинематического описания и система управления. Показана роль аддитивных технологий и быстрого прототипирования на основе 3D-моделей для ускорения проектирования, снижения затрат и повышения наглядности разработки. Отмечены преимущества (гибкость, интеграция с CAD) и ограничения методов (стоимость, точность, прочность). Обоснована необходимость учета взаимосвязей информационных, массоинерционных и энергетических параметров. Сделан вывод о перспективности БММ в промышленности и робототехнике для создания конкурентоспособных высокотехнологичных решений в мехатронике.

Для приближенного решения задачи оптимального управления с ограничениями рассматривается ее аппроксимация в классе кусочно-постоянных управлений в форме конечномерной задачи оптимизации. В конечномерной задаче конструируется условие оптимальности в виде задачи о неподвижной точке в пространстве управлений. Такое представление позволяет применить и модифицировать известную теорию и методы решения задач о неподвижной точке для поиска кусочно-постоянных экстремальных управлений в системах с ограничениями. Эффективность предлагаемого подхода неподвижных точек для поиска приближенных экстремальных управлений в задаче оптимального управления с ограничениями иллюстрируется на тестовом примере.

Задача оптимального управления с фазовыми ограничениями сводится к эквивалентной задаче оптимального управления с одним терминальным ограничением. Для этой задачи конструируются необходимые условия оптимальности в виде задачи о неподвижной точке. Такой вид задачи позволяет построить проекционный итерационный метод для поиска экстремальных управлений в системах с фазовыми ограничениями. Эффективность метода демонстрируется на модельном примере.

В классе нелинейных задач оптимального управления разрабатываются условия оптимальности и нелокального улучшения управления с использованием модификации стандартной сопряженной системы. Такая модификация позволяет строить формулы приращения функционала, не содержащие остаточных членов разложений. Эти формулы служат основой для конструирования условий улучшения и оптимальности управления в форме систем уравнений, для решения которых используется известный в математике аппарат неподвижных точек. Предлагаемые методы для поиска экстремальных управлений не опираются на локальные вариации управления, а строят улучшающую последовательность управлений на основе построенных формул приращения функционала. Доказывается сходимость итерационных процессов построенных методов по невязке принципа максимума.

В статье проведено изучение стационарных движений механической автономной консервативной системы, для которой может существовать частный интеграл Д. К. Бобылева. Для системы с частным интегралом Бобылева переходом невырожденной заменой переменных к другой системе координат показана эквивалентная система с частным интегралом Стеклова. В связи с этим нахождение здесь стационарных движений механических систем с частным интегралом Бобылева основано по аналогии с поиском стационарных движений, содержащих частный интеграл Стеклова. Последние ранее изучены и проведено исследование их устойчивости. Их отыскание опирается на известный эффективный метод Рауса - Ляпунова. При этом большее применение получила неполная связка из первых интегралов, состоящая из общих интегралов: энергии, кинетического момента и Пуассона. Другие два оставшихся первых интеграла, из которых один является частным Бобылева, можно не принимать во внимание и в вычислениях они могут не участвовать. Вместе с тем необходимо учитывать только условия существования частного интеграла Бобылева. В статье были осуществлены поиски стационарных движений двумя подходами. Один из них не учитывал возникающий дополнительный общий интеграл, другой проводил вычисления с учетом этого интеграла. На основе оценки сложности составления решений стационарности и проверки их соответствия стационарности показана предпочтительность первого подхода. Стационарными движениями получены положение покоя и перманентные вращения.

Работа посвящена численному решению обратной задачи для интегральной динамической модели, описываемой интегральным уравнением Вольтерра первого рода с ядром, терпящим разрыв вдоль гладкой кривой. Уравнения указанного вида находят применение при моделировании различных динамических процессов, включая системы накопителей энергии. Обратная задача состоит в определении неизвестной кривой разрыва, содержащейся в пределах интегрирования. При такой постановке рассматриваемое уравнение трактуется уже как нелинейное функционально-интегральное уравнение. Предложен численный метод определения неизвестной кривой разрыва, основанный на ее полиномиальной аппроксимации. Коэффициенты разложения определяются в результате минимизации невязки с учетом дополнительных условий-ограничений. Для решения задачи условной оптимизации используются методы последовательного квадратичного программирования. Эффективность предложенного подхода подтверждается результатами решения модельных задач, в работе приведены численные результаты, дана их интерпретация.