Статья: АЛГОРИТМИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА ТИПА ПАСКАЛЯ И ПОМЕХОУСТОЙЧИВЫЕ КОДЫ (2025)

В статье предлагается уточнение ранее разработанной обобщённой математической модели. Модель описывает динамику конструкции, состоящей из балки Эйлера - Бернулли, и прикреплённых к ней взаимосвязанных твёрдых тел. Уточненная модель учитывает случай с несимметричными точками крепления упругих элементов к телам, вследствие чего возникают неоднородные слагаемые в правой части уравнений. Это расширяет область её применимости и позволяет описывать более широкий класс механических систем, в которых точки крепления упругих элементов могут быть заданы произвольным образом. Предложен подход к определению положения равновесия в выбранной системе координат, позволяющий осуществить замену переменных в уточнённой модели и свести её к ранее изученной обобщённой математической модели.

Ставится начально-краевая задача о механических движениях нескольких твердых тел, упруго закрепленных продольно на упругом стержне. Решение описывающих эти колебания системы дифференциальных уравнений, включающей в себя как обычные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных, понимается в обобщенном смысле. Использование обобщенного решения объясняется наличием в уравнениях этой системы дельта - функции, сосредоточенной в местах крепления тел к балке. Производится известная подстановка, сводящая гибридную систему дифференциальных уравнений к системе амплитудных уравнений для твердых тел и стержня. Путем преобразований этих уравнений получается условие типа ортогональности. Приводится разложение решений в ряды Фурье по постоянным амплитудам твердых тел и собственным формам стержня с переменным коэффициентом, зависящим от времени. Описана методика определения этих переменных коэффициентов, которые зависят от собственных частот механической системы и форм колебаний стержня, амплитуд твердых тел и начальных смещений твердых тел и стержня. Введено гильбертово пространство с заданной системой ортогональных единичных векторов, которое позволило выразить неизвестные амплитуды твердых тел через начальные смещения твердых тел и стержня. Результатом работы явилось решение поставленной задачи в виде разложений в ряды Фурье в замкнутой форме, что позволяет произвести численные расчеты, если решена задача на собственные частоты и формы колебаний рассматриваемой механической системы.

Более сотни лет известна связь теории рядов Фурье с комплексным анализом, поскольку степенной ряд, рассматриваемый на окружности, представляется тригонометрическим рядом. Исследование связи между граничным поведением аналитических и субгармонических функций, с одной стороны, и рядами Фурье - с другой, привело к глубоким результатам в обеих теориях. Начиная с 60-х годов прошлого столетия в работах американских математиков Л. Рубела и Б. Тейлора начал применяться метод изучения асимптотического поведения целых и мероморфных функций, основанный на ряде Фурье для логарифма модуля мероморфной функции. Одним из преимуществ этого метода является то, что он позволяет исследовать функции с нерегулярным ростом на бесконечности и функции бесконечного порядка. Кроме того, поскольку коэффициенты Фурье выражаются через нули и полюсы мероморфной функции, то с их помощью можно изучать распределение нулей и полюсов. Одним из направлений этой теории есть нахождение наилучших оценок сверху и снизу верхних и нижних пределов отношений неванлинновских характеристик. Такие оценки были получены в конце прошлого века в совместной работе Майлза и Шиа. В настоящей работе мы распространяем некоторые результаты из работы Майлза и Шиа на классы мероморфных функций, определяемых модельной функцией роста.

Исходная краевая задача магнитостатики представляет собой систему квазилинейных уравнений первого порядка для неизвестной векторной функции. Рассмотрен случай, когда за границей рассматриваемой области находится идеальный проводник, что соответствует обращению в нуль нормальной компоненты магнитной индукции на границе. Эта задача с помощью построения решения вспомогательной линейной задачи преобразована в задачу для одного квазилинейного эллиптического уравнения для скалярного потенциала. Рассмотрены только однозначные зависимости магнитной индукции от напряженности магнитного поля, то есть исключен гистерезис. В рамках энергетического метода доказано существование и единственность обобщенного решения задачи для потенциала. Такое решение позволяет построить являющееся решением исходной задачи магнитное поле, обладающее конечной энергией. Предложенный и обоснованный принцип минимума фукционала энергии целесообразно использовать при численном решении задач магнитостатики, поскольку он позволяет строить вариационноразностные схемы, используя стандартные аппроксимирующие функции, например, кусочно-линейные.