Статья: ФУНКЦИОНАЛ ЭНЕРГИИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ МАГНИТОСТАТИКИ (2025)

В статье предлагается уточнение ранее разработанной обобщённой математической модели. Модель описывает динамику конструкции, состоящей из балки Эйлера - Бернулли, и прикреплённых к ней взаимосвязанных твёрдых тел. Уточненная модель учитывает случай с несимметричными точками крепления упругих элементов к телам, вследствие чего возникают неоднородные слагаемые в правой части уравнений. Это расширяет область её применимости и позволяет описывать более широкий класс механических систем, в которых точки крепления упругих элементов могут быть заданы произвольным образом. Предложен подход к определению положения равновесия в выбранной системе координат, позволяющий осуществить замену переменных в уточнённой модели и свести её к ранее изученной обобщённой математической модели.

Ставится начально-краевая задача о механических движениях нескольких твердых тел, упруго закрепленных продольно на упругом стержне. Решение описывающих эти колебания системы дифференциальных уравнений, включающей в себя как обычные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных, понимается в обобщенном смысле. Использование обобщенного решения объясняется наличием в уравнениях этой системы дельта - функции, сосредоточенной в местах крепления тел к балке. Производится известная подстановка, сводящая гибридную систему дифференциальных уравнений к системе амплитудных уравнений для твердых тел и стержня. Путем преобразований этих уравнений получается условие типа ортогональности. Приводится разложение решений в ряды Фурье по постоянным амплитудам твердых тел и собственным формам стержня с переменным коэффициентом, зависящим от времени. Описана методика определения этих переменных коэффициентов, которые зависят от собственных частот механической системы и форм колебаний стержня, амплитуд твердых тел и начальных смещений твердых тел и стержня. Введено гильбертово пространство с заданной системой ортогональных единичных векторов, которое позволило выразить неизвестные амплитуды твердых тел через начальные смещения твердых тел и стержня. Результатом работы явилось решение поставленной задачи в виде разложений в ряды Фурье в замкнутой форме, что позволяет произвести численные расчеты, если решена задача на собственные частоты и формы колебаний рассматриваемой механической системы.

Изучается структура треугольника типа Паскаля в позиционной системе счисления с основанием p. C помощью рекурсивных функций на объектно-ориентированном языке программирования С++ был реализован вывод структуры треугольника типа Паскаля по модулю p. В ходе работы используется формула триномиального коэффициента, полученная с помощью двух биномиальных коэффициентов. Разработан алгоритм для выявления свойств рабочих кодовых комбинаций из таблиц типа Паскаля, использующихся для помехоустойчивого кодирования и декодирования информации с исправлением ошибок. Рассматривается граничное условие, связывающее количество кодируемых сообщений, позиционную систему и длину кодируемого сообщения. Выявлено максимальное количество ошибок, которые возможно исправить. В программе реализуются формулы избыточности кода и расстояния Хэмминга. В ходе работы анализируются возможные рабочие комбинации, полученные на основе расстояния Хэмминга.

Более сотни лет известна связь теории рядов Фурье с комплексным анализом, поскольку степенной ряд, рассматриваемый на окружности, представляется тригонометрическим рядом. Исследование связи между граничным поведением аналитических и субгармонических функций, с одной стороны, и рядами Фурье - с другой, привело к глубоким результатам в обеих теориях. Начиная с 60-х годов прошлого столетия в работах американских математиков Л. Рубела и Б. Тейлора начал применяться метод изучения асимптотического поведения целых и мероморфных функций, основанный на ряде Фурье для логарифма модуля мероморфной функции. Одним из преимуществ этого метода является то, что он позволяет исследовать функции с нерегулярным ростом на бесконечности и функции бесконечного порядка. Кроме того, поскольку коэффициенты Фурье выражаются через нули и полюсы мероморфной функции, то с их помощью можно изучать распределение нулей и полюсов. Одним из направлений этой теории есть нахождение наилучших оценок сверху и снизу верхних и нижних пределов отношений неванлинновских характеристик. Такие оценки были получены в конце прошлого века в совместной работе Майлза и Шиа. В настоящей работе мы распространяем некоторые результаты из работы Майлза и Шиа на классы мероморфных функций, определяемых модельной функцией роста.