Публикации автора

В статье исследуется дискретное уравнение в натуральных числах вида x = count (d, x) + n, где: n - натуральное число; count (d, x) - количество вхождений цифры d ∈{0, 1, …, 9} в десятичную запись числа x. Цель работы - получить априорные оценки решений уравнения и проанализировать зависимость числа решений от параметров d и n. Основной результат исследования - установлена двусторонняя априорная оценка для решений уравнения: n ≤ x ≤ n + ⌊lgn⌋ + 2. Из нее следует: при фиксированных d и n число натуральных решений ограничено; уравнение разрешимо не для всех значений n. Для цифр d ∈{9, 8, …, 2} и любого натурального n доказано, что число решений не превышает 2. Для d = 1 и любого натурального n показано, что число решений не превышает 3. Для d = 0 конструктивно обосновано, что с ростом n число натуральных решений, каждое из которых может быть представлено в десятичной записи с использованием всего четырех цифр, может неограниченно возрастать. Теоретическая и практическая значимость. Результаты имеют теоретико-математический характер и могут быть применены: при исследовании аналогичных дискретных уравнений в натуральных числах; в анализе математических игр-головоломок, описываемых подобными уравнениями; как дополнение к известным результатам в области диофантовых уравнений.

Исследуется задача выразимости всех функций x1(t), x2(t), … , xn(t), входящих в заданную однородную систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами x′(t) = A·x(t), в виде линейных комбинаций производных только одной неизвестной функции xк(t), входящей в эту систему. Найден простой критерий выразимости всех функций системы x′(t) = A·x(t) в виде линейных комбинаций производных xк(t) и доказана его корректность. На основе доказанного критерия разработан соответствующий алгоритм и обоснована его корректность.

Исследована проблема существования и единственности полилинейных продолжений некоторых дискретных функций. Доказано, что для любой булевой функции существует соответствующее полилинейное продолжение и оно единственно. Предложен алгоритм нахождения полилинейного продолжения булевой функции и доказана его корректность. На основе предложенного алгоритма найдены явные формы полилинейных продолжений сначала для булевой функции, а затем для произвольной функции, определенной на множестве вершин n-мерного единичного куба, произвольного куба и параллелепипеда, и в каждом конкретном случае доказана единственность соответствующего полилинейного продолжения.