Публикации автора

В статье исследуется система двух параболических уравнений типа реакция-диффузия, являющаяся многомерным обобщением модели Мюррея, описывающей взаимодействие двух конкурирующих сообществ. Сформулированы и доказаны новые теоремы существования и единственности решений с нулевым фронтом в трехмерном случае и для произвольной размерности пространства. Доказательства конструктивны, решения строятся в виде степенных рядов. Описан новый класс точных решений, построение которых сводится к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ). Для решения СОДУ в частном случае предложен итерационный численный алгоритм на основе метода коллокаций. В рассмотренных примерах проведена численная оценка областей сходимости решений в виде рядов, исследованы свойства точных решений и отрезков рядов.

В статье рассматривается задача об оптимальном размещении внутри сферического сегмента заданного числа равных геодезических кругов без пересечений, причем критерием оптимальности является максимизация их радиуса. Данная постановка известна как задача Таммеса и представляет собой один из вариантов классической проблемы о плотнейшей упаковке однотипных объектов в контейнер. Для решения рассмотренной задачи предложен оригинальный двухэтапный численный метод. На первом этапе строится начальное приближение с использованием известных оптимальных упаковок равных кругов в круг большего радиуса, центры которых проектируются специальным образом на сферический сегмент. Доказывается теорема о свойствах проекции, устанавливающая связь между радиусами элементов плоской и сферической упаковок. На втором этапе выполняется процедура улучшения с помощью бильярдного моделирования. Выполнены иллюстрирующие численные расчеты для сферических сегментов различного углового размера. Проведено сравнение их результатов с известными, которое показывает, что предлагаемый метод позволяет находить оптимальные или близкие к ним упаковки за значительно (на два-три порядка) меньшее время, чем при использовании традиционного метода мультистарта. Решена прикладная задача о проектировании сферической фокальной поверхности, которая возникает в инженерной оптике.

Рассматривается задача упаковки шаров двух типов в замкнутое ограниченное множество в трехмерном пространстве как с евклидовой, так и со специальной неевклидовой метрикой. Требуется максимизировать радиус шаров при известном количестве шаров каждого типа и заданном отношении между радиусами. Предложен вычислительный алгоритм, основанный на комбинации метода бильярдного моделирования и оптико-геометрического подхода, базирующегося на фундаментальных физических принципах Ферма и Гюйгенса. Приведены результаты вычислительного эксперимента.