Публикации автора

Обсуждаются условия сильной эллиптичности в нелинейной теории упругости. Рассматриваются модели простого в смысле Коши материала, а также градиентной теории упругости. Уравнения состояния простого материала записываются при помощи плотности энергии деформации, заданной функцией градиента деформации. Для градиентной теории упругости плотность энергии деформации зависит от первого и второго градиентов деформации в случае теории типа Тупина – Миндлина или от первого, второго и третьего градиентов вектора перемещений в случае градиентной теории упругости третьего порядка. Сформулированы условия сильной эллиптичности уравнений равновесия и проанализирована их связь с устойчивостью в малом. Условия сильной эллиптичности сформулированы в терминах плотности энергии деформации – ее выпуклости на определенных деформациях. Для градиентной теории упругости условия сильной эллиптичности, определяемые как в теории систем уравнений в частных производных, налагают ограничения только на форму энергии деформации и сами деформации в зависимости от градиентов деформации максимального порядка. Устойчивость в малом определена как положительная определенность второй вариации потенциальной энергии на допустимых перемещениях. Связь эллиптичности и устойчивости в малом здесь рассматривается для первой краевой задачи – краевой задачи с краевыми условиями типа Дирихле. Продемонстрированы существенные отличия в рассматриваемых моделях. Так, если в случае простого материала выполнение условия сильной эллиптичности вызывает устойчивость в малом аффинной деформации в случае первой краевой задачи, для градиентной теории упругости аналогичное утверждение, вообще говоря, не имеет места. Достаточными условиями устойчивости выступает серия неравенств. В качестве специального случая градиентной теории упругости рассмотрена теория градиентной пороупругости, для которой условия сильной эллиптичности не выполняются, а выполняются условия эллиптичности в смысле Даглиса – Ниренберга.