Научный архив: статьи

Вес w (e) ребра e в 3-многограннике равен сумме степеней его конечных вершин. Ребро e = uv является (i, j)-ребром, если d (u) i и d (v) j. В 1940 году Лебег доказал, что каждый 3-многогранник имеет (3, 11)-ребро, или (4, 7)-ребро, или (5, 6) -ребро, где 7 и 6 являются наилучшими из возможных. В 1955 году Котциг доказал, что каждый 3-многогранник имеет ребро e с w (e) 13, граница которого является острой. Бородин (1987), отвечая на вопрос Эрдоса от 1976 года, доказал, что каждый плоский граф без вершин степени менее 3 имеет такое ребро. Более того, Бородин (1991) уточнил это, доказав, что существует либо (3, 10)-ребро, либо (4, 7)-ребро, либо (5, 6)-ребро. Учитывая 3-гранный многогранник, минимальный вес всех его ребер обозначается w, из тех, которые имеют только одну 3-гранную грань и называются полуслабыми, равен w, а из тех, которые имеют две 3-гранные грани и называются слабыми, равен w. Бородин (1996) доказал, что если w = 1, то есть слабых границ нет, то либо w9, либо w8, где обе границы четкие. Недавно мы уточнили этот факт, доказав, что w = 1 подразумевает либо полуслабую (3, 6)-ребро, или полуслабое (4, 4)-ребро, или же сильное (3, 5)-ребро, описание которого является жестким. (Обратите внимание, что если (3, 5)-ребра допустимы, то 3-граней и, следовательно, полуслабых ребер может вообще не быть.) Цель нашей заметки - дополнительно уточнить эти результаты, доказав, что на самом деле w = 1 подразумевает либо полуслабое (3, 6) ребро, либо полуслабое (4, 4) ребро, либо сильное (3, 5) ребро, встречающееся с 4-гранью, либо сильное (3, 3) ребро, встречающееся с 5-грань, где ни один параметр не может быть улучшен.