Статья: О ТЕОРЕТИЧЕСКОМ ВЫРАВНИВАНИИ ВАРИАЦИОННЫХ РЯДОВ (2026)

В проведенном исследовании изучена адаптация задачи, представленной в [5], в которой применяются методы нелинейного программирования в военных операциях, к контексту задач поиска. В статье представлены три сформулированные задачи поиска вместе с их численными решениями. Результаты показывают, что предложенные подходы имеют практическое значение для применения в армии, полиции и службах экстренного реагирования.

Для упрощения обычно весьма трудоемкой процедуры решения транспортных задач предложено два пути их возможной автоматической сегментации, которая заключается в выборе малых замкнутых подзадач транспортных задач произвольных размеров. При этом указан общий и весьма перспективный путь перехода от задач, требующих большого количества вложенных циклов, к одномерной задаче с единственным переменным параметром, равным количеству не требующихся теперь вложенных циклов. Для этого число, выражающее общее количество требующихся комплектов индексов, записывается в системе счисления с основанием, равным числу вложений, и величина, оказывающаяся на каждой из позиций полученного разложения, используется в качестве счетчика соответствующего цикла. Количество требующих вложения циклов практически не ограничено.

В работе приведено решение начально-краевой задачи о колебаниях твердых тел на упругом стержне. Решение ищется в виде разложения смещения твердых тел в ряд по их амплитудам, смещение стержня - в ряд по собственным формам колебаний стержня с одним и тем же коэффициентом в виде временной функции. Показано, что временная функция есть линейная комбинация гармонических функций с аргументом, равным произведению частоты и времени, с постоянными коэффициентами, зависящими от амплитуд твердых тел, начальных условий и собственных частот механической системы. С учетом того, что форма колебаний стержня представляет собой линейную комбинацию амплитуд твердых тел, окончательное решение зависит от этих амплитуд. В настоящей работе установлена пропорциональность амплитуд твердых тел фиксированной амплитуде с коэффициентом пропорциональности, зависящим только от частоты и параметров системы. В результате в решении амплитуды твердых тел сокращаются и остаются их коэффициенты пропорциональности. Кроме того, из введенных гильбертовых пространств с ортонормированными системами векторов выведены проверочные соотношения, позволяющие убедиться в адекватности полученных решений.

Рассматривается задача оптимального управления процессом, описываемым классическим параболическим уравнением с динамическим граничным условием. Управляемое граничное условие на одном из концов области определяется из решения начальной задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с постоянным запаздыванием. Допустимые управления принадлежат классу непрерывно дифференцируемых функций и удовлетворяют поточечным ограничениям. В силу гладкости управлений в исследуемой задаче затруднительно применение принципа максимума Л. С. Понтрягина и соответствующих методов. На основе использования неклассической «внутренней» вариации управления доказано необходимое условие оптимальности первого порядка. Схематически изложен итерационный метод решения задачи. На каждой итерации алгоритм обеспечивает улучшение управления и сходимость к выполнению доказанного необходимого условия оптимальности. Приведен иллюстративный пример, демонстрирующий эффективность предлагаемого метода.

В работе исследуется иерархия сверточных тождеств в комбинаторных структурах Паскаля. На основе геометрической интерпретации элементов как числа путей в целочисленной решетке получены обобщения для треугольника, пирамиды и гиперпирамид произвольной размерности. Построена полная иерархия результатов, демонстрирующая, что все рассмотренные тождества являются частными случаями единой теоремы. Введена операция инверсии индексов, позволяющая интерпретировать свертку как наложение слоев. Для каждого уровня иерархии приведены подробные примеры с пошаговыми вычислениями. Обсуждены приложения в помехоустойчивом кодировании, криптографическом разделении секрета и сжатии данных.

С целью выяснения обстоятельств получения различных ответов в одной и той же задаче рассматривается несколько путей решения известной задачи об оценке вероятности случайного выбора остроугольного треугольника. Задача решается в различных вероятностных пространствах: I) величины наибольшего угла; II) косинуса наибольшего угла, а также с помощью теоремы косинусов; III) в пространстве двух меньших углов треугольника; IV) двух его меньших сторон. Показано, что рассмотренные вероятностные пространства, имеющие различную размерность и различные системы координат, допускают переходы от одного к другому с выходом на единственное решение задачи. Для применения геометрического определения вероятности важно предварительно проанализировать вопрос о равномерности заполнения этих пространств точками-событиями, что необходимо для этого способа определения вероятности. Методически полезный результат заключается в том, что «выравнивание» плотности точек событий в вероятностном пространстве не может быть достигнуто с помощью какой-либо нормировки на дифференциальную меру плотности подмножеств, характеризующую постоянство самих анализируемых значений. Кроме того, использование различных подходов к решению задачи позволяет лучше понимать ее математическую сущность. В качестве одного из практических приложений полученных результатов оценивается вероятность изменения пространственной ориентации массива случайно расположенных элементов в виде треугольных призм и четырехгранных пирамид на твердой поверхности при неразрушающем сжатии, составившая 0.5.