Статья: КИНЕМАТИЧЕСКОЕ НАГРУЖЕНИЕ ПЛОСКОГО ТЕСТ-ОБРАЗЦА С УЧАСТКАМИ ДВУХСТОРОННЕГО ЗАКРЕПЛЕНИЯ. 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ПРОСТЕЙШИХ ЗАДАЧ* (2026)

Дана краткая характеристика трех используемых в рамках статьи вычислительных моделей, ориентированных на решение задач о больших пластических деформациях тонкостенных металлических конструкций, находящихся под действием внутреннего давления. Отмеченный набор моделей включает в себя оболочечную безмоментную жесткопластическую конечноэлементную модель и две твердотельные упругопластические конечно-элементные модели, которые предназначены для решения задач о больших пластических деформациях в осесимметричной и трехмерной постановках. Надежность получаемого при этом численного решения рассматриваемой задачи о предельном пластическом формоизменении устанавливается по факту согласованности результатов расчетов на основе двух (альтернативных) из отмеченных трех моделей. Закон упрочнения высокопластичного материала принимаемой к рассмотрению конструкции определяется в рамках расчетно-аналитического подхода, основанного на использовании стандартных механических характеристик этого материала: предела прочности, предела текучести и равномерного удлинения. Излагаются результаты выполненных расчетно-экспериментальных исследований по предельному пластическому формоизменению конструкции, изготовленной с применением аддитивных технологий, содержащей элемент в виде торообразной (с двумя полостями) оболочки, подверженной действию большой величины внутреннего давления. Отмечается хорошее согласование с экспериментом как зон начала разрушения конструкции, так и получаемых при этом расчетных прогнозов по предельным значениям приложенного давления. Таким образом, подтверждена корректность предложенных вычислительных моделей и истинной диаграммы деформирования стали, используемой в аддитивном производстве, построенной на основе расчетно-аналитического подхода. Полученные результаты свидетельствуют о возможности проведения оценки запаса прочности подобных конструкций в рамках предложенного В. И. Феодосьевым подхода, опирающегося на получаемый описанным способом расчетный прогноз по предельному значению приложенной нагрузки.

Исследуются закономерности пластического деформирования металлов и сплавов, подвергающихся сложному пластическому деформированию в условиях как монотонного, так и циклического силового воздействия. Теоретической базой исследования является модель, разработанная в рамках дифференциальной теории пластичности профессором Ю. Г. Коротких. Ключевая особенность модели – концепция поверхности нагружения (текучести) и постулат о градиентальности вектора скорости пластических деформаций к этой поверхности в точке нагружения. Подобная форма записи определяющих уравнений позволяет корректно описывать фундаментальные эффекты пластичности при реализации произвольных (сложных) траекторий силового воздействия. При занулении соответствующих материальных параметров из общего варианта уравнений, как частный случай, получаются все основные представленные в литературе формы уравнений пластического деформирования материала при малых деформациях (система «вложенных» моделей).

Исследуются проблемы математического моделирования процессов, для которых характерно изменение ориентации главных осей тензоров напряжений, а также полных и пластических деформаций (так называемые режимы непропорционального нагружения). С целью верификации предложенной модели выполнен цикл численных экспериментов, моделирующих сложное пластическое деформирование конструкционных сталей (на примере сталей марок 304, 316 и стали 45). Анализ проводился для плоских траекторий, соответствующих непропорциональным режимам деформирования, в условиях монотонного и циклического силового воздействия. Результаты исследования демонстрируют, что модель пластичности Ю. Г. Коротких корректно предсказывает основные эффекты сложного пластического деформирования конструкционных сплавов. Модель обеспечивает качественное описание поведения материалов для плоских траекторий нагружения любой кривизны, а ее точность является достаточной для выполнения практических расчетов.

Отмечен ряд характерных особенностей, сопровождающих процесс непропорционального пластического деформирования сплавов: наличие «нырка» на диаграмме деформирования материала при переходе от криволинейного участка деформирования к прямолинейному; волнообразный характер векторных свойств материала на криволинейных траекториях постоянной кривизны при циклическом нагружении; появление дополнительного циклического упрочнения и др.

Обсуждаются условия сильной эллиптичности в нелинейной теории упругости. Рассматриваются модели простого в смысле Коши материала, а также градиентной теории упругости. Уравнения состояния простого материала записываются при помощи плотности энергии деформации, заданной функцией градиента деформации. Для градиентной теории упругости плотность энергии деформации зависит от первого и второго градиентов деформации в случае теории типа Тупина – Миндлина или от первого, второго и третьего градиентов вектора перемещений в случае градиентной теории упругости третьего порядка. Сформулированы условия сильной эллиптичности уравнений равновесия и проанализирована их связь с устойчивостью в малом. Условия сильной эллиптичности сформулированы в терминах плотности энергии деформации – ее выпуклости на определенных деформациях. Для градиентной теории упругости условия сильной эллиптичности, определяемые как в теории систем уравнений в частных производных, налагают ограничения только на форму энергии деформации и сами деформации в зависимости от градиентов деформации максимального порядка. Устойчивость в малом определена как положительная определенность второй вариации потенциальной энергии на допустимых перемещениях. Связь эллиптичности и устойчивости в малом здесь рассматривается для первой краевой задачи – краевой задачи с краевыми условиями типа Дирихле. Продемонстрированы существенные отличия в рассматриваемых моделях. Так, если в случае простого материала выполнение условия сильной эллиптичности вызывает устойчивость в малом аффинной деформации в случае первой краевой задачи, для градиентной теории упругости аналогичное утверждение, вообще говоря, не имеет места. Достаточными условиями устойчивости выступает серия неравенств. В качестве специального случая градиентной теории упругости рассмотрена теория градиентной пороупругости, для которой условия сильной эллиптичности не выполняются, а выполняются условия эллиптичности в смысле Даглиса – Ниренберга.

Рассматривается актуальная проблема неразрушающей оценки прочностных свойств литых алюмоматричных композитов по данным ультразвукового контроля. Представлены результаты ультразвуковых исследований перспективного литого изотропного композиционного материала на основе алюминиевого сплава А6, упрочненного полыми алюмосиликатными микросферами. С помощью эхо-импульсного метода определены скорости продольных и сдвиговых ультразвуковых волн в образцах, содержащих фракции микросфер размерами 40–80 мкм и 100–200 мкм, со степенью насыщения 5, 10 и 15%. На основе измерений времен распространения ультразвуковых волн рассчитаны значения коэффициента Пуассона. Установлено, что как скорости распространения продольных и сдвиговых волн, так и коэффициент Пуассона уменьшаются прямо пропорционально степени насыщения сплава полыми алюмосиликатными микросферами, при этом углы наклона прямых существенно различаются в зависимости от размера микросфер. Для образцов композита, содержащих микросферы размерами 40–80 мкм, соответствующие углы наклона линейных зависимостей меньше, чем для образцов композита, содержащих микросферы размерами 100–200 мкм. Также получено, что при одинаковой степени насыщения скорости ультразвуковых волн и коэффициент Пуассона в образцах, содержащих микросферы меньшего размера, больше, чем в образцах, содержащих микросферы большего размера. Установлена отрицательная линейная корреляция коэффициента Пуассона и предела прочности для исследованной выборки. Показано, что определяемый с помощью ультразвуковых волн коэффициент Пуассона может использоваться как информативный параметр неразрушающего контроля алюмоматричного композита, упрочненного полыми алюмосиликатными микросферами. Предложены эмпирические формулы для оценки предела прочности композита и степени насыщения полыми микросферами по данным ультразвуковых измерений.

Одним из ключевых уравнений моделей металлов и их сплавов, созданных на базе физических теорий пластичности, является уравнение Хатчинсона для определения скоростей сдвига по системам скольжения. Исследовано влияние значения степенного параметра, входящего в уравнение Хатчинсона, на результаты, получаемые в двухуровневой статистической модели металла с гранецентрированной кубической решеткой. Полагалось, что скалярный множитель (префактор) в уравнении Хатчинсона пропорционален интенсивности скорости деформации. Использовалась формулировка закона упрочнения, опирающаяся на представления о постепенном увеличении плотности дефектов, препятствующих движению дислокаций до тех пор, пока не будет достигнуто состояние, при котором процессы аннигиляции и воспроизводства дислокаций не уравновесят друг друга. Показано, что при численной устойчивости расчетов степенной параметр практически не влияет на отклик, поэтому его можно задавать, руководствуясь лишь требованием обеспечения устойчивости расчетов. Проведено исследование условий для обеспечения устойчивости численной реализации модели, установлено существование некоторого критического значения показателя степени, при котором нарушается устойчивость численной реализации при использовании явной схемы интегрирования Эйлера. Выявлено наличие зависимости этого критического значения от шага интегрирования и ряда параметров модели (критического напряжения, модулей сдвига, скорости деформации). В предположении об активности единственной системы скольжения и об отсутствии ротаций для схемы Эйлера получена теоретическая оценка критического значения показателя степени в законе Хатчинсона, удовлетворительно согласующаяся с результатами вычислительных экспериментов.

Исследуется задача о поведении равновесий сжатой упругой пологой прямоугольной в плане круговой цилиндрической оболочки. Оболочка находится под действием внутренних напряжений, которые вызваны полями непрерывно распределенных краевых дислокаций и клиновых дисклинаций. Сжимающая нагрузка равномерно распределена по криволинейным краям оболочки и действует параллельно образующей цилиндра. Рассмотрены граничные условия свободного защемления или шарнирного опирания краев оболочки. Получены нелинейные уравнения равновесия типа Кармана, при этом в правой части уравнения совместности деформаций появляется скалярная функция, которая называется функцией несовместности и зависит от плотности дислокаций и дисклинаций. Установлено, что при наличии источников напряжений решением системы уравнений является вектор-функция, компонентами которой являются прогиб и функция напряжений. Рассматривается также задача о слабом изгибе сжатой пологой оболочки с дислокациями и дисклинациями, которая решается разностным методом. В случае отсутствия полей дислокаций и дисклинаций нелинейная задача имеет тривиальное решение и после линеаризации возникает задача на собственные значения, которая определяет критические нагрузки потери устойчивости сжатой оболочки. Для решения проблемы собственных значений применяется вариационный метод в сочетании с разностным методом. Приведены результаты численных расчетов нескольких первых критических значений сжимающей нагрузки и построены графики компонентов соответствующих собственных вектор-функций. Для линейной задачи о равновесии сжатой оболочки с дислокациями и дисклинациями также приведены результаты численных расчетов и графики компонентов вектор-функций для заданных значений сжимающей нагрузки и функции несовместности.

Представлено экспериментальное обоснование возможности определения параметров сферической полости или включения в образце по данным испытаний на одноосное сжатие (или растяжение) образцов. Для экспериментальной идентификации параметров сферической полости по данным механических испытаний на сжатие (растяжение) с помощью аддитивных технологий была изготовлена серия образцов из оптически активных материалов (AnycubicABS-LikePRO 2 Clear) кубической формы со сферическими полостями. В исследовании с использованием моделей прозрачных дисков и образцов кубической формы со сферическими полостями, напечатанных на 3D-принтере, были изучены характеристики двойного лучепреломления при сжатии фотополимеров и испытаний на сжатие в замороженном состоянии при различных температурах и осевых нагрузках. Получены интерференционные картины (карты изохроматических линий с помощью метода цифровой фотоупругости) и распределения полей перемещений (методом корреляции цифровых изображений) на поверхности образца. На основе экспериментально найденных полей напряжений и перемещений на поверхности образца определены координаты центра сферической полости и ее радиус путем вычисления значений функционала взаимности и инвариантных интегралов взаимодействия. Для реализации метода «замораживания» напряжений и фиксации напряженных участков на напечатанной модели разработана полярископическая система, объединенная с высокотемпературной загрузочной камерой. После проведения испытаний пространственный образец, разрезанный на пластины, дает картины разности главных напряжений во внутренних сечениях образца (картины изохроматических полос в плоских пластинах, полученных посредством разрезания образца кубической формы со сферической полостью), что позволяет оценить параметры напряженно-деформированного состояния внутри образца с концентратором напряжений. Проведено сопоставление экспериментальных полей с конечноэлементными решениями, сравнение показало хорошую согласованность результатов. Разработана комплексная методика экспериментального определения механических полей в нагруженных телах с последующей идентификацией внутренних дефектов на основе интерференционно-оптических измерений, инвариантных интегралов взаимодействия, численных оценок для идентификации скрытых включений.

Представлена методика определения упругих модулей термопластов на образцах в виде пластин, изготовленных методом послойного наплавления. Предлагаемый подход основан на анализе распространения бегущих упругих волн в образце и статистической обработке результатов решения соответствующей обратной коэффициентной задачи. С помощью лазерной доплеровской виброметрии в прямоугольных пластинах регистрировались скорости вертикальных колебаний точек их поверхности, возбуждаемых пьезоэлектрическим преобразователем, который был прикреплен к поверхности пластин с помощью цианоакрилатного клея. Для определения дисперсионных характеристик волн Лэмба по регистрируемым волновым сигналам применялся метод матричного пучка. Решение обратной задачи по определению значений упругих модулей выполнялось численно методом дифференциальной эволюции. При построении целевой функции использовалось свойство обращения фурье-символа матрицы Грина для однородного упругого слоя в бесконечность в точках, соответствующих измеренным волновым числам. Для повышения эффективности метода процедура выполнялась для нескольких линий, проходящих через центр источника колебаний. Проведен статистический анализ значений упругих модулей, восстановленных с использованием различных линий сканирования, получены оценки упругих характеристик материала и выполнено сравнение с результатами стандартизованных механических испытаний на одноосное растяжение. Таким образом, показана эффективность разработанной методики, которая может быть использована для определения и контроля упругих характеристик тонкостенных полимерных конструкций, изготовленных с использованием аддитивных технологий.

Рассматривается задача топологической оптимизации механических свойств материала на основе численно-цифрового подхода, предполагающего интеграцию методов численного моделирования и цифрового прототипирования. В центре внимания находится стандартная реализация метода SIMP (Solid Isotropic Material with Penalization), а также его улучшенная версия. Улучшение заключается в применении интерполирующих функций для аппроксимации плотности материала, что позволяет перейти от кусочнопостоянного к непрерывному распределению, которое обеспечивает сглаженное представление топологии конструкции. В качестве численного эксперимента исследуется задача трехточечного изгиба балки прямоугольного поперечного сечения. Расчеты проводятся для трех различных расчетных сеток, что дает возможность оценить влияние степени дискретизации на результаты и сравнить эффективность стандартного и улучшенного подходов. На каждой итерации фиксируется распределение плотностей, формирующее воксельную модель цифрового прототипа, которая может быть использована при аддитивном производстве. Эффективность алгоритма оценивается на основе функционала внутренней энергии деформации. Показано, что использование интерполирующих функций снижает значение функционала на 2–4% и обеспечивает более устойчивую сходимость по сравнению с классическим SIMP. Полученные результаты подтверждают практическую значимость метода, позволяющего формировать оптимизированные структуры с высокой жесткостью при сохранении заданного объема материала. Установлено, что улучшенный подход снижает вычислительные затраты и ускоряет процесс оптимизации за счет меньшего количества итераций, что особенно важно для задач высокой размерности. Предложенный метод может быть эффективно применен в машиностроении, медицинской инженерии и аддитивных технологиях.