Статья: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ ТРЕХФАЗНОЙ ДЕФОРМИРУЕМОЙ ПОРОУПРУГОЙ СРЕДЫ* (2026)

Впервые построено точное решение контактных задач о действии тупоугольных клиновидных в плане штампов на анизотропную композитную многослойную среду. Этот тип контактных задач долгое время не удавалось решить, хотя их актуальность в инженерной практике велика, особенно в задачах для композитных материалов. Исследование задач такого типа стало возможным в связи с разработанным авторами решением двумерных интегральных уравнений Винера – Хопфа в сочетании с применением таких подходов, как метод блочного элемента, топологические и факторизационные методы. Найдены диапазоны параметров областей, для которых можно строить точное решение контактных задач для тупоугольных клиновидных штампов, основываясь на решениях двумерного интегрального уравнения Винера – Хопфа. Для этих целей использован гомеоморфизм отображений дифференциальной топологии. В результате исследования подтверждено, что вопросы выделения неограниченных особенностей решений граничных задач, возникающих на границах штампов, наряду с применением методов спектрального анализа можно осуществлять факторизационными методами, что ранее не было известно. Построенное решение открыло возможность не только для изучения конструкционных свойств многокомпонентных анизотропных композитов, контактирующих с жесткими штампами указанной формы, но также и для исследования прочности и разрушения блочных структур разноразмерных блоков и включений, возникающих в сейсмологии. Кроме этого, решение поставленной задачи открыло возможность создания нового типа излучателей и преобразователей поверхностных волн, ранее не описанных, для клиновидных областей, что может оказаться полезным в решении проблем в электронике, акустике и применено в исследовании наноматериалов.

Представлены результаты комплексного исследования влияния наружных дефектов различной величины на механические характеристики и процессы разрушения полимерного композиционного материала. Экспериментальные исследования проводились на образцах с искусственно нанесенными дефектами-вмятинами при фиксированной нагрузке с использованием инденторов разного диаметра. После нанесения дефектов образцы были испытаны на квазистатическое одноосное растяжение. Проведен анализ типов разрушения образцов, согласно нормативной документации, установлено влияние величины дефекта на прочностные характеристики материала. В процессе исследований использованы трехмерная видеосистема и система регистрации акустической эмиссии. Проведен анализ механизмов разрушения материала на основе сигналов акустической эмиссии. Анализ включал в себя как характеристики энергетического параметра и пиковых частот, так и параметры формы сигнала с учетом времени нарастания, длительности и амплитуды сигналов. Выявлены закономерности в результатах, полученных при регистрации сигналов акустической эмиссии, включая три характерных диапазона частот сигналов акустической эмиссии, связанных с различными типами повреждений материала и их сменами в зависимости от величины предварительно нанесенного дефекта. Проведены оценки жесткости материала при нагрузке, а также локализации напряжений у образцов с поверхностными дефектами. Метод корреляции цифровых изображений позволил изучить эволюцию неоднородных полей деформаций на поверхности образцов. Исследование позволило установить закономерности влияния наружных дефектов на прочностные характеристики и механизмы разрушения полимерного композиционного материала, что имеет значение для оценки работоспособности композитных конструкций при наличии поверхностных повреждений.

Статья посвящена исследованию влияния деформаций ползучести на процесс приспособляемости сосуда под давлением при длительном циклическом нагружении. Основу методологии составляет численный анализ на базе метода конечных элементов с применением верифицированной процедуры построения диаграммы приспособляемости в пространстве нормированных механических и тепловых напряжений. В отличие от классической постановки задачи, предполагающей упруго-идеально-пластическое поведение материала, в статье учитывается кинетика ползучести согласно закону Нортона – Бейли. Параметры определяющего соотношения идентифицируются на основе экспериментальных или нормативных изохронных кривых деформирования с использованием унифицированной идентификационной процедуры. Для оценки предельной накопленной неупругой деформации и ее влияния на положение границы области рэтчетинга применяется аналитический метод упругого ядра. В рамках этого подхода восстановление деформации ползучести выполняется по изохронным кривым материала на основе максимальных напряжений в поперечном сечении. Установлено, что метод упругого ядра обеспечивает удовлетворительное качественное совпадение границ зон диаграммы приспособляемости с результатами прямого численного моделирования, однако количественное определение накопленных неупругих деформаций характеризуется существенными расхождениями. Дополнительно рассмотрено влияние упрочнения материала при циклическом нагружении, моделируемого с помощью механизма изотропнокинематического упрочнения в рамках классической модели Ишлинского – Новожилова – Шабоша. Показано, что учет смешанного упрочнения в расчетной схеме позволяет расширить область допустимых нагрузок и тем самым повысить ресурс эксплуатационной надежности рассматриваемой конструкции.

Пористая сегнетожесткая пьезокерамика имеет уникальные свойства, определяющие ее эффективность для различных гидроакустических и медицинских применений. Для определения материальных свойств пористой пьезокерамики необходимо расширить методы механики композитов на гетерогенные пьезоэлектрические среды, поскольку поле поляризации неоднородно в окрестности пор. Задача осложняется тем, что как само поле поляризации, так и материальные модули неоднородно поляризованной пьезокерамики могут быть определены только приближенно в силу неопределенности входных данных пористого материала при поляризации. При решении задачи определены эффективные модули пористой сегнетожесткой пьезокерамики с учетом различных упрощенных моделей поляризации, а также проведен сравнительный анализ двух видов структур пористости: простой случайной пористости и гарантированно закрытой пористости. Решение задач гомогенизации осуществлено численно методом конечных элементов в неоднородных представительных объемах. На первом этапе решались задачи электростатики диэлектриков, моделирующие процесс неоднородной поляризации. Затем каждый диэлектрический конечный элемент заменялся на пьезоэлектрический со своими элементными системами координат, связанными с направлениями векторов поляризации, и с материальными модулями, заданными в этих системах координат. На последнем этапе решались краевые задачи теории электроупругости при линейных по пространственным переменным главных граничных условиях, и из полученных осредненных компонент напряжений и электрической индукции определялся полный набор эффективных модулей. Все этапы моделирования были проведены в конечно-элементном комплексе ANSYS с использованием авторских программ, реализующих нестандартные возможности, предоставляемые языком программирования APDL. Анализ результатов в диапазоне пористости от 0 до 60% показал, что учет неоднородности поля поляризации очень слабо влияет на эффективные модули жесткости, в большей степени – на диэлектрические проницаемости, и приводит к достаточно существенным изменениям пьезомодулей, особенно поперечных пьезомодулей. Виды структуры пористости также важны для прецизионного определения эффективных модулей.

Рассматривается контактная задача об осадке жесткого индентора с плоской формой основания в жидконасыщенную пороупругую среду Био в виде полуплоскости. Дренаж жидкости осуществляется через основание индентора. С помощью преобразований Лапласа и Фурье решение контактной задачи сводится к решению системы двух двумерных интегральных уравнений I рода. Неизвестными в интегральных уравнениях являются контактные напряжения и контактное давление поровой жидкости. Полученная система интегральных уравнений, в свою очередь, сводится к системе двух одномерных интегральных уравнений I рода относительно трансформант Лапласа неизвестных функций контактных напряжений и контактного давления поровой жидкости. После выделения в левой части системы особых, в том числе сингулярных, частей ядер интегральных уравнений и переноса в правую часть регулярных интегралов система интегральных уравнений методом исключения приводится к треугольному виду. Последовательное обращение особых интегральных операторов, стоящих в левой части, приводит треугольную систему интегральных уравнений I рода к системе интегральных уравнений II рода. Для решения последней организуется схема метода последовательных приближений, посредством которой определяются сингулярные интегральные уравнения для определения трансформант Лапласа ее нулевого приближения. После обращения найденных интегральных уравнений определяются трансформанты Лапласа нулевого приближения, после обращения которых получаются нулевые члены решения поставленной задачи – контактные напряжения и контактное давление поровой жидкости. Полученные решения позволяют определить степень влияния рассматриваемого дренажа на поровое давление жидкости.

На основе обобщения гипотезы Т. С. Чоу для тонких пластин на оболочки построены новые фундаментальные решения для тонкой упругой анизотропной неограниченной цилиндрической оболочки постоянной толщины. Материал оболочки обладает симметрией относительно касательной плоскости к срединной поверхности в каждой ее точке. Фундаментальными решениями являются функции двух координат и времени нормального и тангенциальных перемещений в ответ на воздействие сосредоточенной единичной нагрузки, нормальной к срединной поверхности оболочки, математически описываемой дельта-функцией Дирака.

В постановку задачи входят уравнения движения для неограниченной тонкой анизотропной цилиндрической оболочки постоянной толщины, начальные условия и условия ограниченности решения на бесконечности. Решение поставленной задачи осуществляется с помощью интегральных преобразований Лапласа, Фурье и разложения искомых функций в экспоненциальные ряды Фурье. Для восстановления оригиналов по преобразованию Лапласа применяется теорема о вычетах, для обратного преобразования Фурье – численный метод интегрирования быстро осциллирующих функций. Контроль сходимости параметров численного интегрирования и рядов обеспечивается из условия выполнения критерия относительной погрешности с заданной точностью. Практическая реализация контроля сходимости параметров интегрирования осуществлена средствами языка программирования Python.

Верификация новых фундаментальных решений проведена путем сопоставления полученных результатов с результатами для тонкой неограниченной анизотропной цилиндрической оболочки Тимошенко постоянной толщины.

В ходе численных исследований проведена оценка вклада изгибных и сдвиговых составляющих в нормальное перемещение, также произведено сравнение скорости вычислений новых фундаментальных решений с фундаментальными решениями для оболочки Тимошенко.

Построены абсолютные инварианты и полуинварианты для системы, состоящей из одного тензора и одного псевдотензора второго ранга в трехмерном пространстве. Приводятся определения индивидуальных и совместных инвариантов и полуинвариантов. Обсуждаются понятия полного неприводимого набора инвариантов и полуинвариантов. Представлены несколько систем индивидуальных инвариантов и формулы Ньютона, связывающие их между собой. Обсуждаются понятия полных, неполных и неприводимых наборов инвариантов. Отмечается важность теоремы Гамильтона – Келли для минимизации наборов инвариантов с помощью целых рациональных сизигий. Обсуждается понятие псевдотензора. Вводится понятие псевдоскалярной единицы и скалярной функции, вычисляющей алгебраический вес псевдотензора. Предлагается алгоритм построения полного набора инвариантов заданного целого порядка и его последующая ренумерация. Получен полный неприводимый набор индивидуальных и совместных 9 квадратичных и 28 кубических целых рациональных алгебраических инвариантов и полуинвариантов для системы из одного тензора и одного псевдотензора второго ранга. Вычислены целые алгебраические веса полученных псевдоинвариантов. Отдельно выделены полуинварианты, чувствительные к зеркальным отражениям и инверсиям трехмерного объемлющего евклидова прстранства, таких полуинваринатов оказывается всего 18, среди них 1 линейный, 3 квадратичных и 14 кубических. Указанный выше набор 37 полуинвариантов затем используется для построения кубической энергетической формы, характеризующейся 37 определяющими скалярами/псевдоскалярами (9 линейными и 28 квадратичными) и соответсвующей математической модели нелинейного гемитропного микрополярного упругого тела. Получены определяющие уравнения нелинейного гемитропного микрополярного тела, включающие в себя квадратичные поправки.

Выполнено моделирование собственных колебаний сжимаемой среды со свободной поверхностью в жесткой полости методом конечных элементов. Предложена полная математическая постановка задачи Штурма – Лиувилля на основе смешанного вариационного принципа, в том числе предложены выражения для слагаемых лагранжиана механической системы, учитывающих сжимаемость среды. Введен шестигранный восьмиузловой конечный элемент объема жидкости и четырехугольный четырехузловой конечный элемент свободной поверхности жидкости. Подробно изложен процесс интегрирования слагаемых, учитывающих сжимаемость среды, по введенной топологии конечного элемента объема жидкости с использованием квадратуры Гаусса – Лежандра. Получены выражения для матрицы масс и матрицы жесткости, соответствующие этим слагаемым. Кратко описан процесс получения выражений для остальных интегралов с использованием квадратуры Гаусса – Лежандра, формирующих самостоятельную задачу, не учитывающую сжимаемость среды. Приведено описание численного алгоритма нахождения частот и форм собственных колебаний. Приведены результаты численного эксперимента, реализованного на языке программирования C++ в среде Microsoft Visual Studio Community для исходных данных, подготовленных в среде табличного препроцессора Excel с использованием языка программирования Visual Basic for Application. Проведен краткий анализ графика зависимости первых трех собственных частот колебаний от скорости звука в среде. Показана непротиворечивость полученных результатов путем выполнения предельных переходов при стремлении скорости звука в среде к нулю и бесконечности. Выполнен краткий анализ третьей формы колебаний путем сравнения вертикального смещения свободной поверхности и избыточного давления на этой поверхности. Сделаны выводы о дальнейших перспективах использования реализованных алгоритмов в практических задачах.

Усовершенствованные критерии продвижения трещины, разработанные в последние десятилетия, включают в себя несингулярные составляющие тензора напряжений. Численные методы для их вычисления немногочисленны и сложны. Предлагаемый метод не требует изменений основы вычислительного процесса – метода конечных элементов. Суть его та же, что и у известного расширенного метода конечных элементов (extended finite element method). Он состоит в добавлении к обычным координатным функциям метода конечных элементов (функциям формы) координатных функций, явно моделирующих сингулярность поля напряжений в кончике трещины. В предложенном методе, в отличие от расширенного метода конечных элементов, эти функции одинаковы для всех элементов, что обеспечивает межэлементную непрерывность поля перемещений. Коэффициенты интенсивности напряжений включаются в число варьируемых параметров, поэтому они находятся при решении разрешающей системы линейных алгебраических уравнений без каких-либо дополнительных вычислительных процедур. Вычисление несингулярных компонент тензора напряжений (для некогезионной трещины это T-напряжение) также не требует привлечения специальных методов, например, метода разделения напряжений. Таким образом, представленный метод является по существу объединением классического метода конечных элементов и классического метода Ритца – Галеркина. Проблемы при его применении возникают, если на граничном контуре заданы главные граничные условия, которым не удовлетворяют координатные функции, моделирующие сингулярность. Однако решение находится, если удовлетворять этим условиям только в узлах конечно-элементной сетки, лежащих на граничном контуре (точках коллокации). При этом реакции связей рассматриваются как активные силы и включаются в число искомых неизвестных задачи. Применение метода проиллюстрировано примерами решения задач для компактного образца на растяжение и трехточечного изгибного образца. Результаты расчетов сопоставляются с результатами других исследователей.